Kuler's Introductio, Band I.

tiitl

(i +P+ 7’+'“)

siinnntlieher Reihen vereinigt, log n" = log 4 — 1

•) ~ .1 (l* + .-!* +?• + "')

(v + 5* + 7‘ +

und alle

in Klammern befindlichen Summen sind dem Leser des 10. Kapitelsbekannt, wenn auch unser Bericht, um nicht über Gebühr sich aus-zudehnen, sie übergehen musste. Euler berechnet mit deren Hilfelog ar im natürlichen Logarithmensysteme auf 23 Decimalstellen 1 ).Dass auch die Logarithmen eines Sinus, eines Cosinus von derFactorenzerlegung der Sinus-, der Cosinusreihe aus ermittelt werden,liegt in der Natur der Untersuchung. Den Schluss des Kapitelsbilden weitere Reihen für die Tangente, welche aus denen im10. Kapitel dadurch gewonnen werden, dass in ihnen auftretendeBrüche abermals in Reihenform gebracht werden.

Das 12. Kapitel, Von der Entwicklung der gebrochenenFunctionen in reeller Form, kehrt zu der im 2. Kapitel be-gonnenen Zerlegung eines Bruches in Partialbrüche zurück. Dortwar auf das Reell- oder Imaginärsein der in den Nennern der Partialbrücke auftretenden Factoren des ursprünglichen Nenners keinerleiGewicht gelegt; jetzt vereinigt Euler wieder je zwei Partialbrücheimaginären Nenners zu einem einzigen, in dessen Nenner ein reellesTrinorn zweiten Grades erscheint, d. h. es handelt sich um die Er-

21 + az

Heisst

mittlung der Brüche von der Gestalt

, , , -p. , . 1 / . .

(p* — 2 pqz cos cp + q , z , ) k

der zu zerlegende Bruch -y, ist zunächst N = (jr — 2 pqz cos cp-f- q 2 z 2 ) Z , wo Z durch das erwähnte Trinorn nicht weiter theilbar

2t + az

so zeigt

2pqz cos cp -|- q i z

sein soll, und setv.t man 7_

•j-j, welches aber eine ganze Function sein

sich Y —

p- — 2 pqz COS cp q*z

muss. Mithin muss der Ausdruck M — %Z—aZz durch den tri-nomen Nenner theilbar sein oder gleichzeitig mit p 2 — 2pqz cos cp4- q- z- verschwinden, beziehungsweise verschwinden, wenn z =

p (cos cp 4~V— 1 sinqp) ist. Die Vollziehung der beiden Substitutionenfür z in 31 — 21 Z — aZz unter Anwendung

+ V-1 sin ncp) liefert zwei Gleichungen, denen 21 und a zu ent-

nehmen sind. Im weiteren Verlaufe des Kapitels wird alsdann der

allgemeinere Fall erörtert, dass N das Trinorn Ä-mal als Factor ent-hält und die ganze positive Zahl & > 1 ist.

Das 13. Kapitel, Von den recurrenten Reihen, kehrt zu demGegenstände des 4. Kapitels zurück. Dort war die recurrente Reihe

') Euler, Introductio I, § 190 am Ende.