111. Kapitel.

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aus einem ihr gleichen Bruche unter Anwendung der Methode derunbestimmten Coefficienten hergestellt, während die Division als Ent-wicklungsmittel verschmäht wurde. Jetzt tritt grade die Divisionin ihre Rechte. Zugleich kann aber der erzeugende Bruch in seinePartialbrüche zerlegt werden. Jeder Partialbruch gibt für sich einerecurrente Reihe, und die Summe dieser Reihen muss gleich der ausdem unzerlegten Bruche hervorgegangenen Reihe sein, wobei der Satzin Anwendung kommt, der die eigentliche Grundlage der Methodeder unbestimmten Coefficienten bildet, dass aus der Gleichheit derReihen A + Bz + Cz 2 + Dz* + ••• = ?( + + C* 2 + <£z 3 + • • •

mit Nothwendigkeit die Gleichheit der Coefficienten gleich hoherPotenzen von z in beiden Reihen folge. Euler war der Erste ge-wesen, der diesen Satz unmittelbar aussprach (S. 054), er war auchder Erste, der die Empfindung der Nothwendigkeit einer Rechtfertigung des Satzes besass. Sein Beweis 1 ) besteht darin, dass er mittelsz = 0 zeigt, dass A = ?( sein müsse, dass er alsdann durch Weg-lassung dieser einander gleichen Grössen aus der anfänglichen Gleichungund darauf folgende Division durch z sich die neue Gleichung Ti -J- Cz+ Dz 2 -(-•••= Q3 + &z + Qz 2 + • • • verschafft, aus welcher ermittels z = 0 auf li = 33 schliessen kann u. s. w. Der Nutzen dervon uns als Grundgedanke des Kapitels bezeichneten Betrachtungliegt darin, dass die vorhergegangene Zerlegung in Partialbrüche esvielfach ermöglicht, das an sich undurchsichtige allgemeine Gliedeiner recurrenten Reihe deutlich zu erkennen. Eine solche Undurch-

sichtigkeit herrscht z. B. bei den Coefficienten von —-

1 — 5 z + Gz*

— 1 -f- 4z -|- 14z 2 -|- 4G^ 3 —f— 14(3 z 4 -f- 4b4z* -|—, während \ ~ z t

= + = — -) + (2 + 2-3z+2A 2 z 2 + ..-)

zeigt, dass das allgemeine Glied {2 ■ 3" — 2 n )z n heisst. Verwickelter,aber keineswegs unlösbar wird die Aufgabe, das allgemeine Glied dereiner Division entstammenden recurrenten Reihe zu finden, wenn diereellen Nenner der gebildeten Partialbrüche Trinome zweiten Gradesoder deren Potenzen sind.

Das 14. Kapitel, Von der Vervielfachung und Teilung derWinkel, ist die Fortbildung der dem 8. Kapitel angehörenden Re-cursionsformeln

sin ( 2y -f- z) = 2 cos y • sin (y -(- z) — sin z

cos (2y + z) = 2 cos y • cos (j/ + z) — cos^.

Wie im 8. Kapitel wird der Sinus und der Cosinus des jj-fachen

*) Euler, Introductio I, § 2H.