111. Kapitel.

f,94

Reihe gelangte. Wie für den Sinus verfuhr Euler auch für denCosinus. Er gelangte 1 ) zu dem unrichtigen cos a -f- cos (a b)

+ cos (fl + 2h) -j- =-jp- und von da aus zu dem ricli-

+ cos (fl + 2 ?>) + ■•• =

tigen cos a -f- cos (a -(- h ) -f- cos (ct —(— —|— - - - —|— cos (« -)- nh)

(”+ 1)6

. bsin —2

Das 15. Kapitel, Von den Reihen, welche aus der Ent-wicklung von Producten entspringen, enthält Untersuchungen,welche man Anwendungen der Reihenlehre auf die Zahlentheorie zunennen versucht wäre, indem, wo seither alle ganzen Zahlen der Reihenach gewählt wurden, um das Gesetz einer Reihe zu verwirklichen,jetzt ausschliesslich Primzahlen an deren Stelle treten. Schon imBriefwechsel Euler’s mit Goldbach von 1739 traten solcheDinge auf 2 ). Bei Annahme gleichen Werthes für die beiden unend-lichen Ausdrücke (1 -)- uz)( 1 -)- ßz)(l + ••• = 1 -f- Az

-j- Bz 2 -f- Cz* -f- Bz* -|- zeigt sich A als Summe der einzelnen

Zahlen a + ß + 7 + d -)- • ••, B, C, I) ■ ■■ als Summe ihrer Producte

zu je 2, 3, 4 Ist nun « = ~ , ß = ^, Z = * = £*••>

d. h. hat man die reciproken n toa Potenzen der Primzahlen gewählt,so ist A deren Summe u. s. w., und das ganze Product wird bei

( 1+ £)( 1+ £)( 1+ £)( 1+ £)

4- — 4- -- 4- — + - 1 4- 1 —h • • • und die Nenner der addirten

1 o n 1 r.n 1 .1 I r-n ' 1

3" 5" 6" 7 n 10"

Brüche sind die w ten Potenzen aller Zahlen, welche weder Potenzen,noch durch irgend eine Potenz theilbar sind. Wird z = — 1 an-genommen, so sind die Glieder der aus dem Producte entstandenenReihe absolut betrachtet die gleichen wie vorher, nur mit derartwechselnden Vorzeichen, dass bei ungrader, beziehungsweise beigrader Factorenzahl derjenigen Zahl, deren n te Potenz im Nennersteht, das Minuszeichen, beziehungsweise das Pluszeichen auftritt.

(‘-iOO-iK 1 -£)(*-?)

Dann kommt

(l—uz)(l—ßz)(l — yz)(l

1

n

(1 — uz)(i — ßz)(l — yz)(l — Sz)- ■■

= 1 -)- Az + Bz- + Cz 3 -(- J)A-\ -an die Reihe. Hier sind offen-

') Euler, Introductio I, § 260. *) Corresp. vmth. (Fuss) I, 82 sqq.