Euler’s Introductio, Band I.

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bar, sagt Euler 1 ), die A, B, €,!)■■■ aus den u, ß, y, d ••• so zu-sammengesetzt, dass A die Summe dieser Zahlen einzeln genommen,B, C, 1) ■ ■■ die Summe der Producte aus je 2, 3, 4 • • ■ ist, jedochso, dass bei der Bildung dieser Summen diejenigen Producte, welchezwei oder mehrere gleiche Factoren enthalten, nicht ausgeschlossenwerden dürfen. Euler dachte sich muthmasslich die Herleitungmittels auf einander folgender Division durch die einzelnen Nenner-

factoren. So bekam er - = 1 -)- az -|- crV -)- a 3 0 3 + • • ■, dann

- r_^ a,<3 + "' = 1 + («■+ ß >* ■-I- (« 2 + « ß + ß 1 ) # + (« 3 +«*ß

+ «0*+ ß 3 )z 3 + ... ferner

= 1 + 0 + ß + y)z + O 2 + «/* + F + «y + ßy + y 2 )z~ +

(« 3 4- tr ß -f a ß' 2 -f ß 3 -f a-y -f aßy -f ß i y + a y- + ßy- -f y 3 )z :i -j-,

und ähnlich muss jede folgende Division wirken, wenn man sich mitder rein formalen Bildung der Quotienten in Gestalt unendlicher Reihenbegnügt. Auch hier setzt Euler 0=1 und wählt für u, ß, y, d ■ ■ ■die reciproken Primzahlen mit Ausschluss der 1. Die Reihenentwick-lung muss sämmtliche Stammbrüche liefern, deren Nenner Primzahlenoder aus solchen durch Multiplicationen entstanden sind, d. h. überhaupt

alle Stammbrüche, und es muss daher sein--- 1 -—--—

(-IK-iX-DMF

-'+I+T+T+V+--

Nach dem gleichen Verfahren ge-

langt

man zu

1 +

+ - + — +4" ' 5" '

(! 2»)( 1 8»)! 1 ö")! 1 7")'

. Kenntniss des Werthes des im Nenner links vom

Gleichheitszeichen auftretenden Productes führt also zur Kenntniss derReihensumme rechts und umgekehrt. Ferner kann auch rechts undlinks die Logarithmirung vorgenommen werden. Links entstehenSummen von Logarithmen, deren jeder durch eine unendliche Reiheersetzt werden kann, und so kommen wieder neue Reihen mit neubekannt werdenden Summen, beziehungsweise neue Producte zu Stande.

Das 1 (L Kapitel, Von der Zerlegung der Zahlen in Theile,setzt die zahlentheoretischeu Betrachtungen fort und zwar an einerAufgabe, welche, wie wir wissen ( S. 597), vor 1743 von PhilipNaude dem Jüngeren gestellt worden war. Euler bringt sie inVerbindung mit Productenbildungen, wie das 15. Kapitel sie gelehrthatte. Wird (1 -(- jc a z) i^l -f- x?z) (1 -(- x?z) ■ ■ ■ = 1 -j- Bz -j- Qz i

') Euler, Introduiiio I, § 270.