Reihen 1740—1754 Hie drumllugen iler Pifferentialrechnung. 703

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B

über die Gonstruction imaginärer Grössen und über die Nach-weisung imaginärer Wurzeln sind folgende. Seien (Fig. 109) viercongruente Rechtecke a, ß, y, d aus den Seiten a, b hergestellt undum den Punkt P herumgelegt,eine Annahme, deren erster Theilfast unmittelbar dahin abgeändertwird, dass die Rechtecksseiten alsirleich gedacht und die Rechteckedadurch zu Quadraten werden.

Die entgegengesetzte Richtung derSeiten zwingt dazu, wenn PQ—-\-a,

PR = -\-b ist, Pq= — a, Pr= — b

zu setzen. Die Flächen der ein- s r @

zelnen Rechtecke sind demnach

qUAIjd■qSuoq ®

o a

■+»-■? +“■'+» =1 — ab "r -\-ab

— a 4* a

p-

7 „ ß

,~a ■ —b - I | - 6 ■ + a =+ 6a -ba

Longit.

posit.

r

ur

a — + a- -f- b = + ab, ß = — b- g.? -

-(- a — — ba, y — — <i • — b = Fig. 109 .

-f- ba, d = — a ■ + b — — .

Man erkennt « = y, ß = d. Die formell verschiedene Anordnungder Factoren ab, ba in den Producten ist nur gewählt, um iiusserlichzwischen « und y, zwischen ß und d zu unterscheiden. Ist die abso-lute Länge von a = b = 3, so haben die Quadrate a und y jeweilsdie Fläche 9, die Quadrate ß und d jeweils die Fläche — 9, und+ }/9, ±V~ 9 müssen die Seiten jener Quadrate sein. Es ist un-thunlich, dagegen den Einwand zu erheben, eine Grösse wie + V—sei nur imaginär, unmöglich und unangebbar 1 ), weil aus — ar inkeiner Weise eine Quadratwurzel gezogen werden könne, da sowohl-f- a • -(- a = -f- a~ als auch — a ■ — a = -f- a 2 sei; denn einestheilskönne eine Rechnung, welche von möglichen oder reellen gegebenenGrössen ausgehe und in Uebereinstimmung mit unzweifelhaften Grund-sätzen behandelt sei 2 ), auf keinerlei Weise zu Unmöglichem, oderXichtreellem, oder Unangebbarem führen, und anderntheils lasse dievorgeschriebene Construction erkennen, dass die Voraussetzung, allereellen Quadrate seien positiv, nicht zu Recht bestehe 3 ). Auch aufquadratische Gleichungen, denen das Glied ersten Grades nicht fehlt,geht Kühn in fast zu ausführlicher Darstellung ein, um die Fällezu unterscheiden, in welchen deren Wurzeln imaginär werden, dannauf die Gleichungen dritten Grades, zu deren Versinnlichung er acht

') Kovi Commentarii Academiae Petropölitanae ad annum 1750 et 1751T. III, 176: esse mere imaginarias, inqiossibiles et inassignabües. *) Calculus exdatis possibilibus aut realibus profectus, et axiomatibus indubiis cunrenienter tracta-tus. 3 ) minus recte etiam supponi videtur, omnia quadrata realia esse positiva.