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112. Kapitel.

= e c (cosqp +y— 1 sinqp). Demzufolge ist log(« -(- l>]/ — 1) = (J+ log (cos cp -j- ]/— 1 sinqp) und es kommt auf die Auffindung vony = log (cos qp -(- Y — 1 sinqp) an, zu welcher die Gleichung (l -f-

— (cos qp -f- y~— 1 sin qp) = 0 führen müsste, wenn man im Stande

— q n = 0 zu geben. Nun ist cos qp = 1

(JD 3 <p 6

sm 9> = 9>- - r ä -78 + 172737775 -’

' -.. = cos<p +

wiire, ihr die Gestalt />"

_ qp* i <p*_ _

1 • 2 ' 1 ■ 2 • 3 • 4

l + V y~ 1 -) =l + <pl/=TT

1 n /(n = ») 1 ^ r

y — 1 sin qp, d. h. die Umwandlung (l -)-

= ( l + j) n ~ (l + * 1 ^ =I1 ) ist erfolgt, und p = 1<Pl/ =r T

)" =

/(»=»)

qp

1 • 2

1-23

- (cos qp -j- y — 1 sin qp)

y

'1 = 1

-f- ^ r n ‘ ■ Die einzelnen Facto reu ergeben sich, wenn fortwährendii — oo berücksichtigt und deshalb der Cosinus eines durch n geteilten Bogens durch 1, sein Sinus durch den Bogen ersetzt wird, mittels

( -iXn . / - . 24

u cos + 1/ — 1 sin1 \ n — ' n

1

) ’ d ' k 1 + 7»

( i +:> /=ri ) ( 1 +^ 7 -!) = ! + ^ +

i) ■

und y = log (cos qp -|- ]/— 1 sin qp) = (qp + - ^ ?r) 7 — 1, beziehungs-weise log (a -f- h y —1)= C7 —f- (qp + 2 Ajt) y —1, wo (7= log}/« 2 -)- Ir,

a b , b

cp = arccos -- _= arcsin- — = arctg — •

+ j/V+h*

Die Lehre von den imaginären Zahlen war damit plötzlich umein Wesentliches gefördert, so wenig man vergessen darf, dass dererzielte Fortschritt allmälig und seit geraumer Zeit von Cot es, vonDe Moivre , von Euler selbst vorbereitet war. Aber in einemPunkte war noch keine Klarheit geschaffen. Das Imaginäre galt nachwie vor als unmögliche Schöpfung einer ungezügelten Einbildungs-kraft. Man hatte gelernt, alle ersinnlichen Rechnungsarten an ima-ginären Zahlen auszuüben, aber man hatte nicht gelernt, sie selbst zuversinnlichen. Den ersten Versuch dieser Art machte HeinrichKühn 1 ) (1690—1769), der, in Königsberg geboren, seit 1733 amGymnasium in Danzig wirkte, auch 1743 an der Begründung derDanziger naturforschenden Gesellschaft theilnahm. Die AbhandlungMeditationen de quantitatibus imaginariis construendis et radicibus ima-yinariis exhibendis, um derenwillen wir Kühn zu nennen haben, istvon der Petersburger Akademie veröffentlicht 2 ). Kühn’s Gedanken

*) Allgemeine deutsche Biographie XVII, 341. Artikel von S. Günther.-) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae ad annum 1750 et 1751. T. III,170—223.