Heilten 1740 — 1754. Die (irundlugcn der Differentialrechnung.
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übereinstimmen, dass sie bei ganzzahlig positiver Abscisse die gleicheOrdinate besitzen. Für die Interpolation der vorgelegten Reibe, fürdie Auffindung eines Reihengliedes mit nicht ganzzahlig positiverOrdnungszahl, oder geometrisch gesprochen für den Verlauf der Curvezwischen den gegebenen Punkten sei gar nichts gewonnen. Sollz. B. bei jedem ganzzahligen Werthe von x die Ordinate y — x sein,so wird dieses erreicht, wenn y die Summe von x und solchen Aus-drücken ist, welche bei ganzzahligem x zu Null werden, wie z. B.sinwjrx bei irgend ganzzahligem n. Man kann also jedes Reihengliedansetzen als y = x -f- P • sin ■xx -f- Q ■ sin 2nx -(- 11 ■ sin ?>%xwo P, Q, 11 • • ■ beliebige Functionen von x bedeuten. Euler gehtdann zu Betrachtungen über, welche zu tief in die Lehre von denDifferentialgleichungen eingreifen, als dass sie hier besprochen werdenkönnten. Wir werden im 118. Kapitel in Kürze darauf zurückkommen.
Euler’s zweiter Aufsatz in dem betreffenden Bande, Considrrnfioquarumduni serierum <pntc sinyularibus pruprictatUms sunt praeditae 1 ),
geht von einer besonderen Reihe aus, nämlich von ' X
’ 1 — q 1 q — q s
,(i—x)(a— x) (q * — x ) .
' a s — q a I"
(1 — x) (a — x) (a s — x) ■■■ ( a n 1 — x)
- n{n — 1 )
ö»;»+i)
a — q
deren Summe = n ist, wenn x = a n , wie durch Induction sich er-giebt, wenn nach einander x = n n = L, x = a 1 , x = er, x—a* u. s. w.eingesetzt wird. Aber diese Summenbestimmung hört auf richtig zusein, wenn x einer Potenz von n mit nicht ganzzahlig positivem Ex-ponenten gleich gesetzt wird, anders ausgesprochen: s als Summe dergenannten Reihe ist nicht immer der Logarithmus von x für dieBasis a, sondern nur dann, wenn x eine Potenz von a mit ganzempositivem Exponenten ist. Euler schreitet dann w r eiter zu Umwand-lungen der Reihe fort, aus welchen vielfältige Folgerungen gezogenwerden, deren wir nicht näher gedenken, weil sie nicht das Wesender Reihen überhaupt betreffen.
Anders steht es mit zwei Aufsätzen Euler’s im V. Bande derneuen Abhandlungen der Petersburger Akademie. Der AufsatzSitbsidium calcidi sinuum 2 ) bildet eine Ergänzung zum 8. Kapitel desI. Bandes der Introductio (S. 684). Dort war der Cosinus beziehungs-weise der Sinus eines vielfachen Bogens durch Potenzen der Functionendes einfachen Bogens dargestellt, jetzt wurden Formeln abgeleitet,welche Potenzen der trigonometrischen Functionen einfacher Bögenauf Functionen vielfacher Bögen zurückführen. Die Grundlage bildet
') Xovi Commentarii Academiae Petropolitanae ad annum 1750 et 1751.T. III, 80—108. *) Ebenda 1754 et 1755. T. V, 104—204.