112. Kapitel.

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die mittels fortgesetzter Multiplicntion bewiesene und demgemäss nals ganze positive Zahl voraussetzende Formel (cos y + sin<pl/-- l)"= cos ny + sin ny Y — 1. Wird abkürzend cos y + sin y Y — 1 = u,cos y — sinqpj/— 1 = v gesetzt, so ist cos y = —und2* • cos q" = (it -f- r) n = u n + nu”~ I v + ^ - u n ~ 2 v 2 + • • •■

Offenbar kann man auch 2 n ■ cos y n = (c + u) n = v” + nv n ~ 1 v -f-v n—- 2 U 2 schreiben und beide Gleichungen addiren. Man er-hält 2"+ 1 cos y n = («" -(- v n ) -f- n (u n ~ 2 + v"~ 2 )uv-\- —j „ ^ (u n ~ 1 +

f*-- 1 ) n 2 v~ + Leicht ersichtlich ist uv — u 2 v 2 = ■•• = 1, sowieic n -f- v a = 2 cos ny u. s. w. Man gewinnt dadurch 2 n ■ cos y n —

cos ny + n cos (ny — 2y)-)- n ^ 2 1 ^cos(n^p — 4qr>)-f-• • ■. Die Reihe

bricht ab, sobald der Binomialcoefiicient, der in jedem Gliede auf-tritt, den Werth 0 annimmt. Tritt vorher ein cos(»qp — my) mitm > n auf, so ist zu erwägen, dass cos (ny — my) = cos (my — ny).Nachdem die Untersuchung so weit mit genügender Strenge geführtwar, setzt Euler plötzlich und ohne die geringste Rechtfertigungseines Verfahrens n als negative ganze Zahl, so dass die entstehendeReihe nicht von selbst abbricht, sondern ins Unendliche fortläuft.

Mit verblüffender Sorglosigkeit schreibt er — cos 9 — cos3qp

-f- cosdtp — cosöqp + ••■, 4 cob^j* = C0S - < P — 2cos4<p -f- 3 cos (>9

-1 cos 8© + - ■ 1 —5 = cos 3 y — 3 cos 5 y 4- fi cos ly —

“ ' ’ 8 cos <p s x

10cos9<p+-- u. s. w. In beiden Entwicklungsgruppen, bei posi-tivem wie bei negativem n, geht Euler vom Cosinus zum Sinus über,

indem er y = * — f schreibt. Dadurch wird cos y = sin if>, cos 2 y

= — cos 2t, cos 3 9 = — sin 3^, cos 4 y = cos 4 ip u. s. w. Zunächsttreten Gleichungen für 2 n - l smi> n auf, in welchen wegen positivganzzahligem n rechts vom Gleichheitszeichen die Reihe abbricht undvorher bei ungradem n nur Sinus, bei gradem n nur Cosinus enthält,z. B. sin i> = sin ip, 4 sin tg 1 = — sin 3t!' + 3 sin ip, 2 sin ijr =

— cos 2t!> -f- 1, 8 sin t/d = cos — 4 cos 2ip -(- 3 u. s. w. Nebendiesen gesicherten Ergebnissen steht in grösster Unbefangenheit

2 sin tp ^ sin ^ + sin3 ^ + sin5 ^ + sin7 ^ H- > rihy* = —COS 2i>

— 2 cos 4t!» — 3 cos 6tf' — 4 cos 8 rp — • • ■ u. s. w. War bis dahinnur cos 9 = M -~-? unmittelbar benutzt und der Uebergang zu Sinus-formeln vom Cosinus aus gewonnen worden, so liefert auch sin y =