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112. Kapitel.

bestätigt. Wiederholte integnitiou führt alsdann zu cosqp —-^-cos2<)p-f- cos 3 9 ) — • • • = a — Die Constante « wird gefunden, indemcp = 0 eingesetzt wird. Alsdann entsteht 1 — ^- + -^ — ••• = « undda die Summe der mit wechselndem Vorzeichen versehenen reciproken Quatratzahlen bekannt ist, « = ~ ■

Euler war (S. (5G7—069) seit 1743 von Niclaus I Bernoulliwegen seines Gebrauches divergenter Reihen zur Rede gestellt worden,und niemals hat er mehr Missachtung der ihm gemachten Vor-stellungen an den Tag gelegt als in dem Aufsatze, über welchen wirsoeben berichtet haben. Vielleicht war dieser Umstand die Veran-lassung, dass Euler in unmittelbarem Anschlüsse an den betreffendenAufsatz die allgemein wichtige Streitfrage öffentlich zu behandelnbeschloss, und so entstand verinuthlich die Abhandlung De seriehusilivcrtjentibus 1 ). Im ersten Paragraphen erklärt Euler convergenteReihen als solche, deren Glieder fortwährend abnehmenund schliesslich verschwinden; Reihen, deren Glieder nichtschliesslich verschwinden, sondern entweder von endlicherGrösse bleiben oder ins Unendliche wachsen, müssen, weilsie nicht convergiren, zu den divergenten Reihen gerechnetwerden. Unter ihnen sind wieder zwei Abarten zu unterscheiden,je nachdem alle Glieder gleichen Vorzeichens sind oder von Glied zuGlied abwechselnd bald positiv bald negativ auftreten. Bei divergen-ten Reihen mit durchweg positiven Gliedern kann nach Euler’s imzweiten Paragraphen vorgetragener Meinung ein Zweifel nicht be-stehen. Ihre Summe wird immer durch einen Ausdruck — darge-stellt werden. Um so bestrittener ist der Summenwerth divergenterReihen mit abwechselnd positiven und negativen Gliedern. Eulerberichtet hier mit grosser Unparteilichkeit über die Gründe undGegengründe, welche geltend gemacht wurden, seit Leibniz gewagt

hatte 1 — 1 + 1 — 1 + • •• = -^ zu setzen. Die Gegner dieser

Meinung stützen sich wesentlich darauf, dass — = 1 —a + a- -

+ o" + ; und dass 1 = 1 + a + <r + • ■ • + «" + ---— sei,

1 1 + a 1 — a 1 1 1 1 — a

und dass die Mantisse i Euler versteht darunter das, was man heute

Restglied nennt) nur dann weggelassen werden dürfe, wenn a einen

’) Novi Commentarii Academiae Petropolitanue ad annum 1754 et 1755.T. V, 205—237.