Reihen 1711* —175-1. Hie (iruiKllagen der I *itfprentialreclmung. 707
nachdem er —u
Er schreibt log S = wlogf'l
_ (n — m)dz-
4- z 1 — z
mdz . ndzi — z '
+ und
Stoff zu weiteren Untersuchungen. Will man etwa sin cp'" • cos cp"in Reihengestalt ansetzen, so genügt dazu die Erwägung, dass sin<p"'-cos(jr”= = . + » M + '‘ (i _ •)" (l + lY Zur Reihen-
entwicklung des Ausdruckes S — (l — ^ • (l -(- -^) benutzt Euler,z gesetzt hat, die logarithmische Differentiation.
z) -f- n log(l -|- z), dann ^ =
(>—>*)»- rs
-f- cjSz = 0, wo die Abkürzungen f = n — m, <j — m -f- n bedeuten.Wird nach der Methode der unbestimmten Coefficienten S = 1 -f-Az - f- Hz 2 -f- Cz s -(- l)z i + ••• angenommen und in die gewonneneDifferentialgleichung eingesetzt, so entsteht (A —/) -f- (213 — fA -f- c/)z+ (3 C — A — fli + <jä) z 1 + (41) — 21i — fC + <)B) *» + ... = 0,woraus die einzelnen Coefficienten der Reihe für S folgen, welche dieGleichungen erfüllen müssen A = f, 2 /> = fA — cj, 3 C — fli —{(j — 1)A, 41) = fC—(y — 2)B u. s. w. Bei der Wahl der Ex-ponenten in und n lässt Euler sich wieder den weitesten Spielraum.Er setzt unter anderen n = — m, so dass eine Reihendarstellung von
/ O
■ ?/*sin cp
COS qp"
= tng cp M in Frage kommt. Am Schlüsse des Aufsatzes wird
von der Differentiation sowie von der Integration unendlicher trigono-metrischer Reihen ganz beliebige Anwendung gemacht. Euler hatte
gefunden cos cp -4- a cos 2cp 4- a 2 cos 3® -I- • • • = — . C08 ... < f .. ~ a . -
° ^ 1 ^ 1 T 1 l a - — SupmijI
sin cp -j- a sin 2cp a 2 sin 3 cp -(-••• = -von a = 1, dann von a =
-)-••• = — * , cos cp ■— cos 2cp - j- cos 3 cp
sin qp
-f- sin 3q> -(-• •• =
l
2 tng
2 a cos qp :„ Einsetzung
2 a COS qp ö
1 liefert ihm cosq> -f- cos 2 cp -|- cos 3 cp*, sin cp -f- sin 2 cp
, sin cp — sin 2 cp -f- sin 3 cp -= * tng — •
Differentiation der zweiten Reihe führt zu sin qp — 2 sin 2 qp -f- 3 sin 3 cp
-- 0, wiederholte Differentiation zu cos cp — 4 cos 2 cp -)- 9 cos 3<p
— ••■ = (). Dagegen führt die Reihe cos cp — cos 2<p -f- cos 3 cp — • • ■= 4 durch Integration zu
sin qp — 4 sin 2 cp + j sin 3 qp -= f,
einem Ergebnisse, welches unter die vielen falschen Angaben, manmöchte fast sagen, sich verirrt hat. Die an dieser Stelle zuerst auf-tretende Reihenentwicklung von wurde in späterer Zeit vielfach