Kcihcn 1719 —1754. Pie Grundlagen der Differentialrechnung. 717

dass dy

Das ist abermals falsch, denn

ans y

(y + ll !)f — >/ = P ( x + (Pt ) — 1>% liefert 2ydy dif = pdx und

di/ — • Setzt man also in PT = für den Nenner

-y -y dy

den Werth so wird derselbe zu gross. Man hat zwei Fehler

begangen, hat einen Nenner erst zu klein, dann zu gross gewählt,und die beiden Fehler heben einander auf, so dass ein richtiges Er-

2 n*

gebniss PT=-~ = 2x herauskommt. Dass in der That die Fehlerp

einander aufheben können, dass z = ‘-J 1 , beweist Berkeley wie folgt.

(femäss der Eigenschaften der Parabel ist y‘~ = px, PT=2x, und

oben war PT

Demnach ist 2x = -j —p— du 4- s = -- -dy-\-z’ J 1 2x

also pdx = 2ydy - f- 2yz. Die Parabel

dy + z

gleichung liefert ferner, wie oben gezeigt, 2y dx d\f = pdx unddie Vergleichung der beiden Werthe von pdx lässt erkennen, dass

dy 2 oder z

Nun wirft sich Berkeley selbst Folgendes

ein 1 ). Sei (Fig. 111) die CurveAPS gegeben, deren Gleichungy = x 2 . Sei MRS eine Secante .1der Curve, LR deren Berührungs-linie in R, MN — s die Sub- J.secante, LN die Subtangente der . 1 /

Curve . Man setze NR = y,A N = x, NO = v, PS = 's.

Dreiecksähnlichkeit lässt erken-

nen , dass — = —, also s = - -V •

7 3) N 1 7

T

(>'

Wie y = x 1 , ist auch y -(- z —{x -f- vf und daher z = 2 vx -f- v 2 .

o

Fig. 111.

21'*+®

Bei unendlich kleinem v geht die Subsecante in die Subtangente mitdem ganz richtigen Werthe * über, und hier scheint doch nur ein-mal ein Unendlichkleines weggelassen zu sein. Aber es scheintnur so! Eine Secante wird niemals Tangente, eine Subsecante nie-mals Subtangente. Der Irrthum des Weglassens von v wird durchden zweiten Irrtlmin, MN und LN als gleich anzusehen, aufgehoben.

') Herkeley, The Analyst § 2-t.