Euler’s Differentialrechnung.
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x na ersetzt wird, von selbst ab, allein auch hier wird die Formelmit grösster Unbefangenheit als unendliche Reihe benutzt, um *>zu ermitteln, d. h. den Werth, welchen y in Folge des Uebergangesvon x in x — na annimmt. Als zweite Hauptaufgabe bezeichnetenwir es, die Function aus ihrer Differenz zu finden, eine Operation,welcher das Summenzeichen 2 dient 1 ). Wenn z = Ai/, so istV = genauer y — 2 2 -f- C, da die hinzutretende additive Con-stante bei der Differenzenbildung wegfällt. Das 2 einer Summebesteht aus der Summe der_V. Ein constanter Coefficient hinterdem^V kann vor dasselbe gesetzt werden. Beide Regeln vereinigtführen zur Kenntniss von 2( x ")- Da nämlich A (x l ) = a, A (a; 2 )= 2ax ff- er, A ix 3 ) = 3coar -(- 3<o 2 a; -)- ei 3 u. s. w., so ist Vto) = x,2 ( 2ax -f- er) = x 3 = 2 (2 a x) ff- 2 (er) = 2 tu 2 x ax und
2 X = — T' Ferner (3 a x 2 ff- 3 arx ff- a 3 ) = a; 3 = ^Viffcua; 2 )
ff- w ( 3 a ' x ) + J£ {a>s ) = 3u^>\a; 2 ) -f- 3co 2 2 X ff- ora: = 3o_N’(a 2 )
3u
+ - 5 - x 2 — - 5 - x ff- er a; = 3 a 2 ( x2 ) + x 2 — ir x und 2 l x ‘ 2 )
£C " Qi CC
= 3 cö — v + -g- «• s. w. Die allgemeine Formel 2 ) zeigt 2( x *) a ^ s
eine Summe von Gliedern beginnend mit x n +', x n , x n ~ 1 , dann aberumschichtig auftretenden Potenzen von x, als x n ~ 3 , x n ~ 5 • • •. Auchbei negativem n wendet Euler mit grösster Geinüthsruhe die Formelan, ausser in dem einzigen Falle n = — 1 . Das Glied der Entwick-
oc n ~^~ ^
lung, welches x n + l enthält, heisst nämlich immer . —. - - und würde
' (M -f- l)Ci)
bei n — — 1 in --- übergehen. AVesentlich bequemer findet sich
3 co
0 • co
das gewisser Producte 3 ). Aus A [(a: ff- o)-(a:ff- 2coV] = 2 a(x ff- 2a)folgt 2 (.x ~h 2a) — ~ (x a) (x 2a), beziehungsweise Js^üff-Mco)== g~ (x ff- (n — 1) 10 ) (x ff- mm). Aus A [(a: -f- (n — 1) cu) •( x ff- n a) ■ (x -j- (n -j- t) ei| = 3co (x -f- na) (x -f- (n -f- 1 ) a) folgt2 [(x ff- » w) (x ff- (« + 0 w)J = -- (x ff- {n — 1) tu) • (x ff- na 1 •(x -j- (n -|- 1 co) u. s. w. Auch bei den Differenzen gebrochener
sich gangbar. A(—, 1 --) =
und deshalb
Functionen erweist dieser Weg
O
x + (« + !) <a i + («ff- n <a ) (x ff- (n ff- 1) ca)
*) Ebenda I, 31, § 29.