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113. Kapitel.

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1

Aehnlieherweise ist

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u. s. w. Ist die Function, deren ^ gesucht wird, eine echtgebrochene,aber mit nicht constantem Zähler, so ist der Bruch in seine Partial-brüche zu zerlegen und für jeden derselben die Bildung des vor-zunehmen. Wir haben einen sehr ausführlichen Auszug aus deml. Kapitel veranstaltet, weil in ihm erstmalig ein Lehrbuch der Diffe-rentialrechnung eine leichtverständliche, wenn auch nicht immer gründ-liche Lehre von den endlichen Differenzen und Summen zum Ausgangspunkte nahm. Wir glauben wenigstens trotz des Vorausgehensvon Taylor’s Mcthodus incrcmrntorum diesen Ausspruch rechtfertigenzu können, da jenes Werk kaum als leichtverständlich und noch we-niger als Lehrbuch der Differentialrechnung wird bezeichnet werdenwollen.

Das 2. Kapitel, Von dem Nutzen der Differenzen in derLehre von den Reihen. Es giebt Reihen, bei denen in Folge vonso oft als nöthig wiederholter Differenzenbildung zwischen den ein-zelnen Gliedern irgend einmal lauter Nulldifferenzen auftreten, undandere Reihen, bei denen dieses nie der Fall ist. Zu den letzterengehört die geometrische Reihe, deren Differenzen stets aufs Neue geo-metrische Reihen bilden, zu den erstereu gehören die arithmetischenReihen verschiedener Ordnung, und von ihnen will Euler handeln.Bei ihnen ist das allgemeine Glied und das summirende Gliedzu finden, d. h. zwei Functionen von x von solcher Beschaffenheit,dass die erste das x te Glied der vorgelegten Reihe liefert, die zweitedie Summe der ersten x Glieder derselben. Alle Reihen, deren Diffe-renzen einer bestimmten Ordnung constaut, oder die der nächsthöherenOrdnung als Nullen erscheinen, sind recurrente Reihen 1 ), und derenallgemeines Glied kann gefunden werden. Mittels desselben findet sichsogar der Werth eines Gliedes mit gebrochenem Stellenzeiger, d. h.die Interpolation einer Reihe ist ermöglicht 2 ). Auf einanderfolgende summirende Glieder bilden selbst eine Reihe, die summirende Reihe, zu welcher die gegebene Reihe als erste Differenzen-reihe gehört. Sind also die « ten Differenzen der gegebenen Reiheconstant, so bilden diese die n + l ten Differenzen der summirendenReihe, welche folglich wieder eine recurrente Reihe ist, deren allge-meines Glied daher gefunden werden kann 3 ). In eine Formel gekleidet,

‘) Euler, Ditfereutialrechnung I, 47, §40. ! ) Ebenda I, 52, §52.

9 ) Ebenda I, 53, § 53.