Analytische Geometrie 1740—1748. Maclaurin. Euler's Introductio, Rand II. 777
Das 1. Kapitel, Von den Curven überhaupt, unterscheidetzwischen algebraischen oder geometrischen und transcendenten, zwischenein- und mehrdeutigen Curven, bespricht die imaginären Durchschnitts-punkte der Curven mit der Abscissenaxe, die nur paarweise auftreten,und ebenso die gleichfalls paarweise auftretenden unendlichen Aeste.
Das 2. Kapitel, Von der Veränderung der Coordinaten,setzt nur geradlinige Coordinaten voraus, und zwar zunächst rechtwinklige. Die Coordinatenveränderung wird bei Verlegung des Anfangspunktes zu den Gleichungen x = t — /’, y = u — y führen, beihierauf vorgenommener Drehung des rechtwinklig bleibenden Coordi-natenkreuzes um den Winkel q zu den Gleichungen: x = u ■ sin q-j- f ■ cos q — f, y = u ■ cos q — t ■ sin q — y oder x = m u -f- nt — f,y = nu — mt — y mit m* + n 1 = 1. Wendet man sie z. B. auf dieder Abscissenaxe in der Entfernung a parallele Gerade au, welchedie Gleichung y = n haben muss, so erscheint a = nu — mt—yoder nku —• mkt — k (y -f- a) = 0, beziehungsweise au -f- ßt b = 0als allgemeine Gleichung einer Geraden im rechtwinkligen Coordi-natensysteme. In zweiter Linie wird von der Rechtwinkligkeit desCoordinatensystems Abstand genommen und stufenweise die Umwandlung eines rechtwinkligen Systems in ein schiefwinkliges unter Bei-behaltung der Richtung der Abscissenaxe oder in ein beliebigesschiefwinkliges System vorgenommen.
Das 3. Kapitel, Von der Eintheilung der algebraischenkrummen Linien in Ordnungen, zeigt den Grad der Gleichungenals naturgemässen Eintheilungsgrund, weil derselbe durch Wahl einesanderen Coordinatensystems nicht verändert wird. Wohl aber kanndie Art der Curve innerhalb derselben Ordnung sich verändern, jenachdem ein oder das andere Coordinatensystem zu Grunde liegt.Die Gleichung, welche z. B. im rechtwinkligen Systeme die einesKreises ist, bedeutet in einem schiefwinkligen Systeme eine Ellipse.Die durch eine Gleichung dargestellte Curve ist folglich nur dannvollständig gegeben, wenn man das zu Grunde liegende Coordinaten-system kennt. Auch bemerkt Euler, dass die allgemeinste Gleichung
w ten Grades zwischen x und y aus - ^ Gliedern bestehe,und dass Gleichungen, deren Polynome in reelle Factoren zerfallen,eine Verbindung mehrerer von einander verschiedener Linien bedeuten.
Das 4. Kapitel, Von den vornehmsten Eigenschaften derLinien einer jeden Ordnung, nennt als Wissenswürdigstes beijeder Curve die Anzahl der Punkte, in welchen sie durch eine Geradegeschnitten wird, und die bei der Curve Grades höchstens n ist.Man kann also aus dem Vorhandensein von n Durchschnittspunkten
Cantob, Geschichte der Mathematik. 111,3. 50