Analytische Geometrie 1740—1748. Maclaurin. Euler’s Introductio, Band II. 783

So kommt Euler unter Berücksichtigung einiger anderer Bedingungenzu im Ganzen IG Geschlechtern, wie er zu sagen vorschlägt, um einerVerwechslung mit Newtons Arten vorzubeugen.

Das 10. Kapitel, Von den vornehmsten Eigenschaften derLinien 3 u ' n Grades, erläutert die Durchmesser dieser Curven in demvon Newton (S. 405) dem Worte beigelegten Sinne, beschäftigt sichmit der Frage, wann jene Curven einen Mittelpunkt, wieder in Newton’sSinne, nämlich einen gemeinsamen Durchschnittspunkt ihrer Durch-messer, besitzen, und mit der Natur ihrer ins Unendliche sich er-streckenden Aeste.

Das 11. Kapitel, Von den Linien 4 ten Grades, will für diesedie gleiche Aufgabe lösen, welche im 9. Kapitel für die Curven3 te “ Grades behandelt worden war. Den Ausgangspunkt liefert dieZerlegung des Ausdrucks caf -f ßifx -+- yif x 2 -f- dyx 3 -f- in seinetheils imaginäre, theils reelle, theils verschiedene, theils gleiche ein-fache Factoren, und die acht in dieser Beziehung denkbaren Fälleführen zu nicht weniger als 14G Geschlechtern.

Das 12. Kapitel, Von der Erforschung der Gestalt derkrummen Linien, geht nur in aller Kürze auf die an wenigen Bei-spielen erörterte Frage ein, wie die Curve im Endlichen aussehe, obund wie viele reelle Ordinaten einer gegebenen Abscisse entsprechen,und ob solche Ordinaten auch unter einander gleich werden können,was einen vielfachen Curvenpunkt anzeigt, der auch ein einzelner con-jugirter Punkt sein kann.

Das 13. Kapitel, Von den Eigenschaften der Curven, suchtCurven niedrigeren Grades auf, welche in der Nähe eines bestimmtenCurvenpunktes der Gestalt der in Frage stehenden Curve sich an-schmiegen. Niedrigsten Grades ist die geradlinige Berührungslinie,welche folgendermassen ermittelt wird. Weiss man, dass x = p,y = q ein Punkt der betreffenden Curve ist, an welchen die Be-rührungslinie gesucht wird, so verlegt man dorthin den Anfangspunktdes in seiner Richtung unveränderten Coordinatensystems, indem manin die Curvengleichung x = p -j- t, y = q + u einsetzt. Da die neueGleichung durch t = u = 0 erfüllt werden muss, so kann ein con-stantes Glied nicht mehr in ihr Vorkommen, sie muss vielmehr heissen0 — At -f- Jiu Ct* -(- Dtu + Ea 2 Bei unendlich kleinen t

und u verschwinden sämmtliche Glieder gegen die beiden ersten, d. h.die Gerade 0 = At -f- Bu stellt die Gestalt der Curve im neuenCoordinatenanfangspunkte dar, berührt sie daselbst. Ist allerdingsder ursprünglich = 0 gesetzte Ausdruck in der Gleichung der Curvekeine rationale ganze Function von x und y, so geht die Umwand-lung in die gewünschte Gleichung in t und u nicht ganz so leicht