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115. Kapitel.

vor sich, und solchen Schwierigkeiten zu begegnen war der Anlasszur Erfindung der Differentialrechnung. Wir wollen deshalb, setztEuler in § 290 hinzu, die Methode, die Tangenten zu finden, wenndie für die Curve gegebene Gleichung keine rationale und ganzeGleichung ist, der Differentialrechnung aufbewahren. Das ist dieStelle, welche wir (S. 784) im Auge hatten, als wir von einer Be-stätigung der Euler’schen Absicht, geometrische Anwendungen derDifferentialrechnung zu schreiben, sprachen. Nach der Berührungslinieim neuen Coordinatenanfangspunkte sucht Euler die Normallinie eben-dort, dann bespricht er den Fall, dass bei der vorgeschriebenen Ver-schiebung des Coordinatenkreuzes nicht bloss die Gleichungsconstante,sondern auch A und B verschwindet, dass also die neue Gleichung0 = Ct~ -)- j Dtu -f- Elfi -(-••• heisst und die Curve folglich in der

unmittelbaren Nähe des Nullpunktes die Gestalt der Curve 0 = Cfi-f- Dtu -)- Elfi besitzt. Hier ist Z) a — ACE für diese Gestalt aus-schlaggebend. Bei B- — 4 CE < 0 ist der neue Coordinatenanfangs-punkt ein conjugirter Punkt der Curve; bei D' 1 — ACE>0 ist erein Doppelpunkt mit zwei verschiedenen Berührungslinien; beiD~ — ACE=0 haben die beiden in dem Nullpunkte zusammen-treffenden Curvenäste dort nur eine Berührungslinie, berühren einander.Das Wegfallen der quadratischen Glieder in Verbindung mit demWegfallen der Constanten und der Glieder ersten Grades und die Be-ziehungen dieser analytischen Erscheinung zum Vorhandensein einesdreifachen Punktes u. s. w. werden dann erörtert.

Das 14. Kapitel, Von der Krümmung der Curven, wendetsich der Lehre von den Osculationen zu, d. h. nachdem der Coordi-

natenanfangspunkt auf die Curveselbst gelegt ist, wird nicht dieGerade At -j- Bu = 0, sonderndie krumme Linie At -j- BuCt~ -(- Dtu -j- Elfi = 0 oder— At — Bu = Cfi + Dtu + Elfiuntersucht, welche in der Nähedes Nullpunktes sich an dieCurve anschmiegt. In dem ge-wählten rechtwinkligen Coordinatensysteme (Fig. 129) ist Mq = t,qm = «. Unter der Voraussetzung, dass At Bu = 0 Gleichung

der Berührungslinie aM ist, welche in u erfüllt sein muss, istA -r .

qu = — 7 , t. Nun sei MN die Normallinie an die Curve in M

Fig. 129.

und mr || MT, während Mr = r, mr = s heisst.Winkel MTB, so ist tang x = j

Nennen wir r den

cos r

B

-fiA* + B*’