78G

115. Kapitel.

lassen. Der Punkt 31 hatte die Coordinaten x = p, y = q, also mussauch q 2 = 2ap — p 2 sein. Die Verschiebung des Coordinatenkreuzes er-folgte mittels x = p -f- t, y = q + u - Die Kreisgleichung heisstalsdann q 2 -)- 2qu -(- u 2 = 2ap -f - 2at — p 3 — 2pt — t 2 , oder nachTilgung von q 2 links gegen 2ap — p 3 rechts, auch 0 = (2a — 2 p) ^— 2qu — t 2 — ir. Vergleicht man diese Form mit 0 = At -f- ßu-f- Ct 2 -(- Dtu -}- Eu 2 , so ergiebt sich: A = 2a — 2p, ß — — 2q,C = E = — 1, D = 0. Dann wird aber unter abermaliger

T, .., .,r 9 0 9 * , (A'+ß^yAt + H*

Berücksichtigung von q‘ = 2ap — p- sofort -—

(4 a* — 8 ap + 4 p* + 4 3 S ) 3

A-E—ABD + B'C. = — }/4(r — %ap-\-3p 2 -\-Aq 2 =— 2 a. Der

— 4 a* -|- 8 ap — 4p* — 4 q-Kreis vom Halbmesser a wird folglich im Scheitel einer Parabel vomParameter 2a sich innig mit ihr berühren, und umgekehrt ersetztsich die Osculation einer Parabel vom Parameter b durch einen

Krümmungskreis vom Halbmesser „, mithin ist der Krümmungs-

halbmesser der Curve 0 = At -f- ßa -\- Ct 2 -(- Dtu -|- Eir -(-••• im

Nullpunkte durch y ^V-E—^UU) + JE-C) S e o e ^ en ’ e ' ne ( ^ urc ^ iaus eigen-artige Herleitung, über welche wir darum ausführlich berichtet haben.Um so mehr müssen wir uns mit vorübergehender Erwähnung derweiteren wichtigen Ergebnisse des 14. Kapitels begnügen. In derFormel für den Krümmungshalbmesser kommt die QuadratwurzelyJ 3 T>’ vor, die als solche positiv oder negativ sein kann. Eulerzeigt, dass dieses mit der Art der Wölbung der Curve zusammen-hängt. Er zeigt ferner, dass A 2 E — Aßl) -\- ß’C— 0 die Be-dingung für das Unendlichgrosswerden des Krümmungshalbmessersist, und dass dieses in Inflexionspunkten eintrifft. Bei endlichemKrümmungshalbmesser kann weder ein Inflexionspunkt noch eineSpitze vorhanden sein, wenn auch umgekehrt das Unendlichgross-werden des Krümmungshalbmessers nicht immer das Auftreten solchersichtbar merkwürdigen Punkte bedingt.

Das 15. Kapitel, Von den Curven, die einen oder mehrereDurchmesser haben, erörtert die Fragen, welche bei einer sym-metrischen Gestaltung der Curven auftreten, und welche zum Theilschon im voraus errathen lassen, wie die Gleichungen solcher Curvenaussehen können.

Das 10. Kapitel, Von der Erfindung der Curven aus ge-gebenen Eigenschaften der Ordinaten, behandelt Gleichungenwie y 2 — Fy Q = 0, y 3 — Py 2 -f- Qy — 11 = 0 u. s. w. mit von xabhängenden P, Q, 11 ■ ■ •, deren algebraische Beziehungen zu den