Analytische Geometrie 1740—1748. Maclaurin. Euler’s Introiluctio, Band II. 787

abermals von x abhängenden Wurzelwerthen y — p, y = q, y = rüber manche Eigenschaften der (Jurve Auskunft geben, über das Vor-handensein von Durchmessern, über Proportionen von Streckenpro-ducten u. dergl.

Das 17. Kapitel, Von der Erfindung der Curven aus anderenEigenschaften, ist, so weit wir uns entsinnen können, die erste ge-schichtlich bekannte umfassende Behandlung von Curven, diekeine Spirale sind, mittels Polarcoordinaten, wenn auch einName für dieses System nicht eingeführt ist. Die Entfernung desfesten Punktes C von dem Curvenpunkte M bezeichnet Euler durch z,den Winkel der CM mit einer festen Geraden CA durch <p, und istC zugleich Anfangspunkt eines rechtwinkligen Coordinatensystems derx, y mit GA als Abscissenaxe, so findet der Uebergang aus dem einenSysteme in das andere durch x — z • cos cp, y = z • sin cp, x~ -(- y- = z' 2statt. Allerdings ist für Euler die Anwendung dieser Polarcordinatendoch nur Mittel zum Zweck, und der Zweck ist die Bestimmung vonCurven, welche durch eine von C ausgehende Gerade nur einmal, be-ziehungsweise zweimal geschnitten werden, den Punkt C selbst, fallser der Curve angehört, nicht als Schnittpunkt mitgerechnet. Dannwird bei zwei Schnittpunkten M und N die Frage nach der Curvegestellt, welche C3P -f- CX' 2 constant sein lasse u. s. w.

Das 18. Kapitel, Von der Aehnlichkeit und Verwandt-schaft der Curven, schickt gleich in seinem ersten Paragraphen(§ 435) den wichtigen Satz voraus, dass eine Gleichung mit geome-trischem Sinne homogen sein müsse, wenn constante Strecken, so-genannte Parameter, von welchen eine auch als Einheit dienen kann,bei der Zählung der Dimensionen mitgerechnet werden, und dasseine nur zwischen den Coordinaten x und y ohne Parameter statt-findende homogene Gleichung überhaupt keine Curve, sondern eineVereinigung von Geraden bedeute. Das ist also der Satz, dass jedehomogene rationale ganze Function « ton Grades von zweiVeränderlichen in n reelle oder imaginäre Factoren l ten Gradeszerfällt. Ist nur ein Parameter a in der Curvengleichung neben xund y vorhanden, so entstehen je nach Wahl dieses a lauter einanderähnliche Curven, welche die Eigenschaft besitzen, dass homologe Ab-scissen und Ordinaten in gleichem Verhältnisse stehen. Heissen etwax, y die Coordinaten der einen, X, Y die Coordinaten der anderenihr ähnlichen Curve, so muss x = nX und y = nY sein. Ist da-gegen x = mX und y = nY, so sind die beiden Curven immerhinverwandt, und Euler betrachtet nun verschiedene Formen solcherVerwandtschaft. Auch von Curven mit mehreren Parametern ist indiesem Kapitel die Rede, wo die Veränderung von einem, von zwei ...