Analytische Geometrie 1748—1756. Crarner.
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11G. Kapitel.
Analytische Geometrie 1748—175 (i. Crainer.
Euler’s Introductio, ein Werk, dem wir jetzt, nachdem wir überbeide Bünde berichtet haben, die Bezeichnung als eines der inhaltreichsten, der schönsten, der fruchtbarsten, die jemals die Presse ver-liessen, verleihen dürfen, ohne Widerspruch von unseren Lesern zubefürchten, war wahrscheinlich noch im Drucke begriffen, als Eulerder Berliner Akademie zwei zusammenhängende Aufsätze einreichte,durchaus geeignet, bei den Geometern im engeren Sinne dieses WortesAufsehen zu erregen. Die Ueberschriften lauten: Sur une contra-(liction apparente da ns la doctrine des liyncs courhcs 1 ), über einenscheinbaren Widerspruch in der Curvenlehre, und Demonstration surIc nombre des points oft deux tii/nes d'un ordre quelconquc jmivent sccoaper-), über die Anzahl der Schnittpunkte zweier Curven beliebigenGrades.
Der im ersten Aufsatze gemeinte Widerspruch ist folgender.Eine Curve n teu Grades besitzt in ihrer .allgemeinsten Gleichung
' * *- Coefficienten, ist also durch ebensoviele Punkte bestimmt,
z. B. eine Curve 2 teu Grades durch 5 Punkte, eine Curve 3 ten Gradesdurch 9 Punkte. Eine Curve m ten Grades und eine solche u te " Gradeskönnen einander höchstens in mn Punkten schneiden, zwei Curven3 te “ Grades also in 9 Punkten. Dann giebt es aber zwei Curven3 teu Grades, die durch 9 gegebene Punkte gehen, und die 9 Punktebestimmen die Curve nicht. Noch auffälliger ist der Widerspruchbei Curven von höherem als dem 3 tBU Grade, bei welchen immer
n 1 i> n J ^' iH ist. Euler zeigt, dass hierdurch nur der Beweis geliefert
ist, es sei nicht immer wahr, dass n "j)-—- Punktezur Bestimmung einer Curve n laa Grades ausreichen,weil diese Bestimmung auf der Auffindbarkeit von d. e. f.
I 3 )i
- Coefficienten aus ebensovielen Gleichungenl ten Grades, welche die erwähnten Coefficienten als g ' h ' t ■
Unbekannte besitzen, beruht, während jene Auffind- Kg. 131 .barkeit nur dann vorhanden ist, wenn die betreffendenGleichungen alle von einander unabhängig sind. Seien z. B. (Fig. 131)9 Punkte «, b, c, d, c, /’, tj, h, i quadratisch geordnet, und sei «
*) llistoire de l’Academie de Berlin. Annee 1748, T. IV, 219 — 233.
*) Ebenda T. IV, 234—248.
Caxtob, Geschichte der Mathematik. III, S.
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