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11G. Kapitel.

die Entfernung von je zwei neben einander oder senkrecht untereinander liegenden Punkten 1 )- Sei c der Anfangspunkt der recht-winkligen Coordinaten mit der Abscissenaxe def und der Ordinaten-axe beh. Man erkennt sofort, dass die Curve ni y (y 2 — «'-)

= nx{x 2 — « 2 ) durch die 9 Punkte hindurchgeht, d. h. dass dieseGleichung durch die Coordinaten der 9 Punkte erfüllt ist, welchenZahlenwerth auch m und n besitzen. Wählt man also einmalund w t , ein andresmal m 2 und n. 2 u. s. w., so erhält man beliebigviele Curven 3 ,cn Grades, die alle durch jene 9 Punkte hindurchgehen,und die mit Ausnahme der Fälle m = 0, oder n = 0, oder m — n,oder m = — n wirkliche Curven sind. In jenen Ausnahmefällen hatman es mit drei Geraden, oder mit einer Geraden und einer Ellipsezu thun, da die Gleichungen alsdann x (x -(- «) (x ■ — «) = 0,ll(y + «)(«/ — «) = 0, (y — x)(y 2 + xy + x 2 — « 2 ) = 0, 0 + x) ■(; y 2 — xy -)- xr — ft 2 ) = 0 heissen.

Der zweite Aufsatz versucht den allgemein als wahr angenom-menen, aber niemals streng bewiesenen Satz von den mn Durchschnitts-punkten einer Curve «< ten Grades mit einer solchen « ton Grades, wofernman die im Unendlichen liegenden, sowie die imaginären Durch-schnittspunkte mitzählt, Curven dagegen, die in einzelnen gradlinigenoder krummlinigen Aesten zusammenfallen, nicht als einander schneidendauffasst, zu sichern. Wir haben wiederholt von diesem Satze ge-sprochen, haben auch über Euler’s versuchten Beweis von 1748 beiGelegenheit der Aufgabe, eine Unbekannte zwischen zwei Gleichungenzu eliminiren (S. 578), berichtet und damals hervorgehoben, Eulerscheine selbst die Empfindung von der Unzulänglichkeit seiner Fol-gerungen besessen zu haben.

Auch in dem unmittelbar folgenden Bande der Berliner Ver-öffentlichungen 2 ) begegnen wir einem Aufsatze Euler’s: Sur le pointde rcbrousscmcnt de la scconde especc de 31. le 3Iarquis de l’Hupital. Esist eine Rechtfertigung von De L’Höpital’s Rückkehrpunkten zweiterArt, die einem Schnabel gleichen 3 ), gegen De Gua’s Angriffe(S. 771). De Gua sei allerdings berechtigt gewesen anzunehmen, eineCurvengleiehung lasse sich, wenn die Abscissenaxe die Curve im

Coordinatenanfangspunkte berühre, in die Form ?/ = — -f Ax m+ Bx n + Cx k + • ■ • bringen, aber die weitere Folgerung, jene

‘) Bei Euler heisst die Entfernung a. Wir wühlten a, um die Ver-wechslung mit dem Punkte a auszusehliessen. *) Histoire de l’Academie

de Berlin. Annee 174‘J. T. V, 204 - 221. *) semblables d ttn bec d’oiseau

sagt Euler in § 1 seines Aufsatzes unter erstmaliger Anwendung dieses Aus-drucks.