Analytische Geometrie 1748—175(1. Cramer.

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liegenden Punkten der Curve und der Berührungslinie. Ein Maximumoder Minimum der Ordinate in dem Sinne, dass die rechts und linksbefindlichen Nachbarordinaten beide kleiner oder beide grösser alsdie zwischen ihnen befindliche Ordinate sind, findet meistens statt,wenn die Berührungslinie der Abscissenaxe parallel läuft, kann aberauch bei dem Parallelismus der Berührungslinie mit der Ordinatenaxein einem Biickkehrpunkte eintreten 1 ).

Das 12. Kapitel, Von der Krümmung der Curven in ihrenverschiedenen Punkten, bringt die erste nähere Begründung,warum der Kreis zum Vergleiche mit der Krümmung einer Curvegewählt wurde. Zwar dass der Kreis überall gleich gekrümmt sei,haben schon Andere, dass seine Krümmung um so grösser sei, jeje kleiner der Halbmesser ist, hat auch Euler ausgesprochen (S. 785),aber Cramer erläutert es. Biegt man, sagt er-’), zwei gleiche Streckenkreisförmig zusammen, und zwar so, dass man aus der einen Streckeeinen ganzen Kreis bildet, aus der anderen einen Halbkreis, so istletzterer zweimal weniger gekrümmt als ersterer, und sein Halbmesserist zweimal so gross als der des ganzen Kreises. Stehen, fährt erfort, die Halbmesser AC, ac zweier Kreise im Verhältnisse von mzu n, und ist der Bogen All des ersten Kreises genau gleich langmit dem Bogen alt des zweiten Kreises, misst man dann die BogenAll, ab in Graden, Minuten u. s. w., soverhält sich All zu ab, wie n zu m, d. h.

wie ac zu AC, oder wie ]zu ' ,

d. h. die Krümmung gleich langer Kreis-bogen steht im reciproken Verhältnisseihrer Halbmesser. Die Auffindung desKrümmungskreises einer Curve lehrtCramer folgendermassen 3 ). Sei (Fig. 13(31Jim (i die auf das Coordinatensystem derAP und AQ bezogene Curve, und seiAP = x, MP — y, Pp = JIu — z. Im11. Kapitel war gezeigt, dass, wenn die lieihe A Bz-\- Cz--\-I)z "’-\—gebildet wird, A die Ordinate y bedeutet, Hs das Stück nO, Cz i -f-Dz 3 -f- • • • das Stück Om. Nun ist OM Berührungslinie wie an dieCurve 71 Imp, so auch an den Kreis MmiJH, und Omi ist eine

Secante dieses letzteren Kreises, also OM-=Om-Oi, 0i = -.^~

' 7 Om

Fig. 136.

On- _ z- -f- IPz-

Öm I)z 3 -\-

n -nebst 0 il/= z l/l + II-.

C-j- l)z~\- ■ ■ ■

*) Cramer, Introduction « l’analyse des Ugnes courbes pag. 527. ! ) Ebenda

pag. 53Ü. 3 ) Ebenda pag. 511—542.