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110. Kapitel.

+ [dir + exy + fx~) + •■• = <> in « + {f>s + er) u -f (ds i + ers-f- fr 2 ) u 2 -(- ■■■ = !>. Fehlt bei der, wie gelehrt wurde, bewirktenAusbreitung der Gleichung auf dem analytischen Dreiecke eine ge-wisse Anzahl unterer Horizontalreihen, so zeigt die erste übrigbleibendePotenz von u durch ihren Exponenten diese Anzahl an. Bringt das

Verhältnis — = —, welches aus der Nullsetzung des Coefficientens ij’

jener ersten übrigen Potenz von u hervorgeht, auch den Coefficientender nächsthöheren Potenz von u zum Verschwinden, so ist im An-fangspunkte ein Infiexionspunkt erkannt 1 ). Gramer sucht auch dieGleichung der Berührungslinie an einen ausserhalb des Coordinaten-aufangspunktes liegenden Curvenpunkt. Sie findet sich am Leichtestendurch Verlegung des Coordinatenanfangspunktes in den Berührungs-punkt, und die dazu führenden Hechnungen entsprechen einer Diffe-rentiation. Gramer sagt das zwar nicht, aber die Vorschriften, wieman es machen solle, sind in genauer Uebereinstinnnung mit denLehren der Differentialrechnung 2 ) und ebenso auch die Aufsuchungder Subtangente 3 ) und die Ermittelung eines Inflexionspunktes 4 ), inwelchem der zweite Differentialquotient der Ordinate nach der Abscisseverschwinden muss. War bis dahin das Ergebniss so zu fassen, dassman die Gleichung, d. h. die Lage und Lichtung der Berührungsliniean einen bestimmten Curvenpunkt finden könne, so kann man auchumgekehrt nach den Curvenpunkten fragen, in welchen die Berührungs-linie eine bestimmte Richtung besitze, und wählt man dazu die Rich-tung parallel zur Abscissenaxe, so findet man die Punkte einesMaximum oder Minimum der Ordinate, es sei denn, dass ein sicht-barer Infiexionspunkt auftrete 5 ). Abermals treibt Gramer verhüllteDifferentialrechnung in umfassender Weise. Auch die Methode derReihen führt zur Kenntniss der in unserem Berichte erwähnten Dinge.Wird die geometrische Eigenthümlichkeit eines Curvenpunktes Mgesucht, so wählt Cramer einen senkrecht unter demselben gelegenenPunkt P zum Anfangspunkte eines rechtwinkligen Coordinatensystems,dessen Ordinatenaxe mit MP zusammenfällt. Die Ordinaten diesesSystems heissen u , die Abscissen z, und die Reihentwicklung u — A-(- Bz -f- Cz 2 + • • ■ wird vorgenommen, welche um so richtiger ist,je kleiner z gewählt wird. Alsdann ist 6 ) A die Ordinate von M , P>die trigonometrische Tangente des Winkels, den die Berührungsliniean M mit der Abscissenaxe bildet, C nach Grösse und Vorzeichender Unterschied zwischen den Ordinaten von unendlich nahe bei M

*) Cramer, Jntroduction ft Vanalysc des liynes conrbes pag. 467. *) Ebenda

pag. 471 472. *) Ebenda pag. 473- 475. 4 ) Ebenda pag. 4SI 482.

‘) Ebenda pag. 487. 6 ) Ebenda pag. 517—525.