Maximal- und Miuimalaufgaben. Euler’s Methodus inveniendi. 817

Euler war durch Johann Bernoulli auf die Frage nach kürzestenLinien mit dem Bemerken, er selbst besitze die allgemeine Gleichungzur Auffindung derselben, hingewiesen worden. Darauf löste er eben-falls die Aufgabe und legte seine Ergebnisse in den Veröffentlichungender Petersburger Akademie für 1728, welche aber erst 1732 im Druckeerschienen, nieder 1 ). Er hatte, wie vielleicht in Erinnerung gebrachtzu werden verdient, bei Niederschrift dieser Abhandlung De lineabrcvissima in supcrficie quacunque dm quaelibd puncta jumjcntc etwadas 21. Lebensjahr erreicht. Wohl könne man, sagt Euler, eine mecha-nische Auflösung sofort erhalten, wenn man einen Faden von einemPunkte der als convex gedachten Oberfläche nach einem zweiten Punktestraff anziehe, aber schon bei einer concaven Oberfläche genüge diesesVerfahren nicht, welches nur eine Sehne der Oberfläche liefere, wennman den Faden nicht zwinge, sich überall der Oberfläche anzuschmiegen,und geometrisch sei das Verfahren unter keiner Bedingung. DerGeometer müsse damit beginnen, die Gleichung einer Oberfläche her-zustellen, und dazu bedürfe man dreier Coordinaten x, y, z, wie zweiCoordinaten in der Ebene dazu dienen, die Natur einer Curve in eineGleichung zu kleiden.

Wir schalten hier ein, dass wir nicht absichtslos auf das Druck-jahr 1732 aufmerksam gemacht haben. AVir entnehmen ihm, dassClairaut, als er 1730 seine Jiccfienhcs sur les courbcs d double eonr-burc herausgab, Euler’s Aufsatz noch nicht keimen konnte, wie Euler’sUnabhängigkeit von Clairaut durch das Eiureichungsjahr 1728 ver-bürgt ist.

Eine Curve auf der Oberfläche, fährt Euler fort, könne man,nachdem die Flächengleichung gegeben sei, entweder dadurch be-stimmen, dass man einer der drei Coordinaten einen festen Werthgebe, oder dadurch, dass man sich eine zweite Flächengleichung ver-schaffe, so dass die Curve der Durchschnitt der zwei Oberflächenwerde. Endlich einen Flächenpunkt liefere die Verleihung festerWertlie an zwei von den drei Coordinaten der Flächengleichung oderdie Vereinigung dreier Flächengleichuugen. So läuft die Auffindungder kürzesten Linie auf einer Oberfläche von gegebener Gleichungdarauf hinaus, eine zweite Gleichung zwischen x, y, z zu ermitteln,was unter Zugrundelegung der für die Auffindung grösster und kleinsterWertlie gütigen Methode erfolge, unter Berücksichtigung des Satzes,dass die Minimaleigenschaft der ganzen Curve auch irgendwelchenElementen der Curve zukommen müsse.

‘) Commcntarii Acadcmiac Pctropolitanae ad annum 1728. T III, 110—124.