Maximal- und Minimalaufgaben. Euler’s Methodus inveniendi. 810

( t >dx ff- Pdy

sei Null.

\?dt* ff- dx* + dy

P, Q, dt gewonnene Differential vonoder

{dt- ff- dx' ff- dy*) ( Qd*x ff- Pd*y) — (Qdx ff- Pdy) (dx d'-x ff- dy d*y) _ (

-|- dx* ff- dy*Y

Qd*x ff- Pd*y _ dxd-x ff- dy d*y

Qdx ff- Pdy dt* ff- dx* ff- dy-

ry

• Neben dieser ersten

beziehungsweise

Differentialgleichung bedarf man einer zweiten, welche durch Differen-tiation der Flächengleichung als Pdx = Q dy ff- 11 dt gewonnen wird.Dass in ihr die Grössen P, Q Vorkommen müssen, geht daraus hervor,dass, wenn in dem der kürzesten Linie angehörenden Flächenpunkte Mdas Coordinatenstück t constant geworden ist, nur Pdx = Qdy übrigbleiben kann, wie vorher angenommen war.

Will man Euler’s Gleichung auf ihre Uebereinstimmung mit derheute üblichen Form der Gleichung der kürzesten Linie prüfen, welche

F(x, >J, z) = 0 als Flächengleichung und = P, ?— = Q = 1t

c x c y c z

voraussetzend P(dydrz — dztPy) ff- Q(dzdrx — dxiPz) ff- lt(dxdry

— dy d 2 x) — 0 lautet, so ist zu beachten, dass bei Euler t steht, wowir heute s, und — P, wo wir heute P schreiben, dass er ferner dt(beziehungsweise dz) als constant betrachtet, wodurch d' 2 z = 0 wird.Die heutige Gleichung verwandelt sich dadurch in PdtiPy ff- Qdtd-xff- P[dxdry — dyd 2 x) — Q. Vervielfacht man sie mit dt, so nimmtsie die Gestalt an {Pä*y ff- Q(Px)dt 2 ff- Rdt(dxcPy — dyd 2 x) = 0oder (Pdry ff- Q d 2 x) dt 2 = (Qdy — Pdx) (dxdPy — dyd 2 x) =

— PtPydx 2 — QtPxdy 2 ff- dxdy (PtPx ff- Q d 2 y) — Pd-ydy 2 —

QiPxdx 2 ff- Pd-ydy 2 ff- QiPxdx 2 oder endlich ^ i'yf =

Die weitere Fortsetzung des Aufsatzes wendet die bisher allgemeingehaltenen Betrachtungen auf besondere Oberflächen an.

Von viel grösserer Tragweite waren die Ergebnisse des um vierJahre späteren Aufsatzes Problnuatis isoperimdrici in latissimo sensuaece.pt i sulutio generalis * 1 ). Euler wusste hier, unter dem Titel einerallgemeinen Auflösung des im weitesten Sinne des Wortes gefasstenisoperimetrischen Problems, alle auf die Auffindung grösster oderkleinster Wertlie gerichteten Aufgaben in ein System von Classen zubringen, welche die Art ihrer Behandlung sofort von selbst enthüllen.

1. Solle eine Curve bestimmt werden, welche eine Eigenschaft Aim grössten oder kleinsten Maasse besitze, so müsse man zwei an-einanderstossende Curvenelemente in Betrachtung ziehen.

') Commentarii Academicie Petropolitanac ad annos 1732 et 1733. T. VI,123—155.