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117. Kapitel.

Eigenschaft nicht, so können sie dieselbe immer erhalten, indemman die Gleichungen mit einem Factor vervielfacht oder durch einen

Divisor theilt 1 ).

Bleiben wir einen Augenblick bei dieser Aeusserung stehen. Siesagt nichts Anderes als dass Q — P, und genau das Gleiche gilt fürS-t—Ii, ein vollständiges Differential sei, beziehungsweise dass dieseBehauptung immer für M (Q — P) Geltung habe, wo M irgend einenFactor bezeichnet, der im einfachsten Falle die Einheit ist. Eulermuss also damals das Vorhandensein des integrirenden Factorsbereits erkannt haben, von welchem allerdings ein ganz besondererFall schon bei Johann Bernoulli (S. 218) Anwendung fand. Wirhaben (S. 7Ö4) zum voraus auf diese Stelle verwiesen.

Sei nun der einfachste Fall 31 = 1 als vorhanden gedacht, unddividirt man die Gleichungen P ■ hß = (1‘ -f- dP) cy, Jl-hß =

i Jl -j- dJl) cy durch einander, so entsteht

1 <

leicht —

dllIi ’

V + dP/.'+ dH

und daraus

woraus durch Integration J i aJi = () folgt, worin

a eine Integrationsconstante ist. Die Aufgabe ist aber damit auf dieder Auffindung der Functionen P und Jl zurückgeführt, und ist diesegelungen, so ist ein maschinales Hinschreiben der Endgleichung er-möglicht. Euler führt specielle Annahmen für die in der Einleitung(S. 820) als A und J! bezeichneten Eigenschaften ein, d. h. er wähltgewisse Integrale, von denen das eine constant bleiben, das andereein Maximum oder ein Minimum werden soll, und zeigt wie unterdieser Voraussetzung P und Jl ausfallen. Soll etwa die ebene Curvegesucht werden 2 ), welche bei gleichem Umfange die grösste Flächeumschliesst, so ist A — jydx, 11= Jds. Euler findet ] > = dx undJl — dq f wo q eine Abkürzung für ^ ist 3 ). Die gesuchte Differen-tialgleichung heisst demnach dx = adtj und nach der Integrirung

fj -ji 3C (l QC ...

x = aq = a=- oder dy = - - welche neuerdings mtegrirt zu

ds • y (( 2 — x 2

x 2 -f- y 3 = führt.

Bei der dritten Aufgabeneiasse werden an einer den vorigenFiguren im Ganzen ähnlichen und nur durch die Berücksichtigungvon vier Curvenelementen von ihnen abweichenden Zeichnung undmit gleichfalls im Ganzen ähnlichen Schlüssen drei Gleichungen er-mittelt 4 ), deren jede die Form P • hß — Q ■ cy -)- P • dä = 0 besitzt,

') Si vero huiusmodi formen» •non lmbuerint poterunt semper multiplicandovel dividendo aequationes ad talem reduci. s ) üommentarii Academiae Pet-ro-politanae ad annos 173 - 2 et 1733. T. VI, 143. 3 ) Ebenda T. VI, 142. ') Ebenda

T. VI, 149.