Maximal- und Minimahuifgaben. Kuler’s Metliodus invoniendi. 821

jenige Curve zu finden, für welche Jx”ds ein Minimum sei. Dasfindet statt, wenn jedes Element des Integrals ein Minimum ist, alsoauch OA” ■ ab und OB“ ■ bc, sowie deren Summe. Der SummeOA“ ■ ab - f- OB“-bc entspricht in der Neulage 0.1"■ aß -j- OB“ ■ ßc,und Gleichsetzuug der Summen führt zu OA” ■ ßm — OB“ -bn oder

OA” ■ b M hß OB” ■ cX ■ bß , OA” ■ bM OB” ■ cX T ,

zu -;-— =-:-- oder zu-,— = — . --- • Der

ab cb ab cb

Ausdruck rechts ist das, was aus dem Ausdrucke links wird, wenndie denselben bildenden Strecken sich je um ihr Differential ver-ändern. Die Gleichung besagt also, dass das Differential von

OA bM vers( .} iw j n( ] e ^ beziehungsweise dass ^eine Constante

ab ‘ ’ ö “ ab

sei, welche man durch a” bezeichnen darf. Dabei ist OA = x,

x n du

J>M=dy, ab = ds, folglich = a” die Differentialgleichung dergesuchten Curve. W äre die Bedigung allgemeiner die gewesen , es sollj Pds ein Minimum sein, wo P irgend eine Function von x bezeich-net, so hiesse die Differentialgleichung der gesuchten Curve Pdy =Ads, wo A eine Constante ist.

Bei der zweiten Aufgabenclasse bildet sich (Kig. 13h) die neueLage aßyd der als bekannt ge-dachten Curve abcd in der Weise 1 ),dass OA — x, Aa — y, oa = s,

A B = BC = CI) = dx, bM = dy,ab — ds, cK = dy dry, bc = ds-+- d'-s, dl‘ = dy -j- "2dry -f- d :) y,cd = ds -f- 2d~s -f- (Ps war, unddass aß = ab -f- mß, ßy = bc —bu

vc, yd = cd -\- yn, Mß =

Mb -f- bß, Xy = Xc — bß — cywird, und auch Pd ist gegen dasfrühere Pd um cy gewachsen.

]{—

Fig. 139.

Dreiecksähnlichkeiten fordern ßm = t>m hu = ^— cv =

r ab ’ ' ab ’

----- yn = --— cy - Zwei Bedingungen sollen erfüllt werden,

führen mithin zu zwei Gleichungen, in welchen nach den erforder-lichen Einsetzungen bß und cy im ersten Grade hervortreten, so dassdie Gleichungen die Form haben P ■ bß — Q ■ cy = 0, B • bß —S-ay — O. Meistentheils, fährt Euler fort 2 ), ist dabei Q = P-\-dP,S — B -|- dB 5 haben aber die Grössen P, Q und B, S diese formelle

‘) Commentarii Academiae 1‘etropolitanae ad annos 1732 et 1733. T. VI,132—134. s ) Ebenda T. VI, 134.