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117. Kapitel.

zu vollziehen weiss. Im ersten Falle waltet das Princip, dass dieEigenschaft des Maximum oder Minimum für jeden noch so kleinenTheil der Curve gilt, wenn sie für die ganze Curve stattfinden soll 1 ),während in den anderen Fällen von diesem Principe abgesehen undauf die Curve in ihrer ganzen Ausdehnung Rücksicht genommenwerden muss 2 ). Die Beweisführung für diesen schon 1736 von Euler

ausgesprochenen Satz (S. 828) ist folgende. Man will W =JZdx

zu einem Maximum oder Minimum machen, sage man etwa, umZweideutigkeiten auszuschliessen, zu einem Maximum. Die Curveums werde durch die Ordinate in m (bei x = x m ) in zwei Theile

x m x, ±

getheilt, und es sei JZdx = P, JZdx — Q, also W = P -f- Q.

x m

Ist Q unabhängig von P, so muss allerdings, damit W Maximumwerde, auch P und Q ein solches sein. Kommt aber in Z ein ohnedie Kenntniss der Functionalität von y in x unbestimmbarer Ausdruckvor, so findet jene Unabhängigkeit zwischen P und Q nicht statt.Das Curvenstiick mz könnte ausser von seinem Anfangspunkte m auchvon dem nach m hinführenden Curvenstücke um abbängen, und inFolge dessen könnte, nachdem das Curvenstiick am etwas geändertwurde, P in P — p, Q in Q -f- q, W in P — p -f- Q -f- q übergehen.Ist alsdann so wird W für die ganze neue Curve ein Maximum,

aber nicht für deren einzelne Stücke. Zur bequemeren Uebersichtwerden weitere Bezeichnungen eingeführt 3 ), nicht übereinstimmendmit denen von 1736 (S. 827), aber doch ihnen ähnlich. Statt derrömischen Zahlzeichen über den Buchstaben dient eine rechts obenangebrachte Bestrichelung, um den Zustand in einem späteren con-secutiven Punkte anzudeuten, und eine rechts unten angebrachte Be-strichelung weist auf den Zustand in einem früheren Punkte hin.So ist z. B. y = y + dy, y" = y' + dy’ = y + 2dy + dry, währendy = y / -f- dtp, y t = y it -f- dy u bezeichnet. Auch irgend eine durchF dargestellte Function von x erleidet solche Bestrichelung, wie anF — P, + dF t und F' = F -j- dF ersichtlich ist. Dem F alsFunctionalzeichen die Variable x beizuschreiben unterliess Euler inder Methodus inveniendi, wiewohl er schon zehn Jahre früher (S. 712)diese Bezeichnungsweise benutzt hatte. Die Methode, deren man sich

zu bedienen hat, um die Curve zu entdecken, für welche fZdx einen

') Kuler, Methodus inveniendi Cap. I, § 38.

3 ) Ebenda Cap. I, § 48—55.

s ) Ebenda Cap. I, § 43.