Maximal- und Minimalaufgaben. Euler's Methodus inveniondi.

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Ilerabgleiten von einem gegebenen Punkte nach einem zweiten in derkürzesten Zeit erfolge. Die Differentialgleichung der Bracliistochrone,zu welcher man gelange, sei zweiter Ordnung. Deren Integrationführe also zwei Constanten ein, und diese werden durch die zweiPunkte als Anfangspunkt und Endpunkt der Bewegung bestimmt 1 ).Innerhalb der schon als nothwendig gekennzeichneten Einschränkungder Aufgabe ist eine weitere Unterscheidung geboten. Entweder hatman es mit der absoluten Methode der Maxima und Minimazu thun, welche lehrt 2 ), unter der Gesammtlieit aller Curven die-jenige zu bestimmen, in welcher eine vorgelegte veränderliche Grösseden grössten oder kleinsten Werth erhält, oder mit der relativenMethode der Maxima und Minima, welche das Gleiche nur fürdiejenigen Curven lehrt 3 ), welche überdies eine vorgeschriebene Eigen-schaft besitzen. Man weiss, dass die von Euler den Methoden bei-gelegten Benennungen als absolut und relativ später auf die Maximaund Minima selbst übertragen worden sind. Was die Bezeichnungbetrifft, so schreibt Euler in der Methodus inveniendi 4 1 dy = pdx,dp = qdx, dq — rdx, dr — sdx und w für die meistens s genannteBogenlänge 5 ). Formel des Maximum oder Minimum heisst, undwird durch W bezeichnet 6 ), die Grösse, welche in der gesuchten Curveeinen grössten oder kleinsten Werth annehmen soll. Ob es um einMaximum oder um ein Minimum sich handelt, ist für den Gang derUntersuchung unwesentlich und wird am sichersten nachträglich zurEntscheidung gebracht 7 ). Das erwähnte W ist ein Integral mit derIntegrationsvariabein x und muss auf einen bestimmten Abscissen-abschnitt bezogen werden 8 ), d. h. W ist ein bestimmtes Integralzwischen Grenzen x 1 und x 2 . In ihm müssen ausser x auch nochandere Variable Vorkommen 9 ', sei es y oder Ableitungen von y nach x,oder w oder andere Integrale, in welchen wiederum x nicht alleinVorkommen darf, die aber wie W selbst erst dann bestimmbar werden,wenn der Zusammenhang zwischen y und x gefunden ist 10 ). In diesemSinne heisst W = JZdx, wo Zdx aber nicht integrirt werden kann,ohne dass eine Gleichung zwischen y und x festgestellt wird 11 ), unddrei Fälle sind zu unterscheiden 12 ). Erstens kann Z eine algebraischeoder doch eine bestimmte Function von x, y, p, q, r ■■■ sein; zweitenskönnen in Z ausserdem Integrale Vorkommen; drittens kann Z durcheine Differentialgleichung gegeben sein, deren Integration man nicht

*) Euler, Methodus inveniendi , Cap. I, § 6. 8 ) Ebenda Cap. I, § 7.

*) Ebenda Cap. I, § 10. 4 ) Ebenda Cap. I, § 10. 6 ) Ebenda Cap. I, § 20 .

6 i Ebenda Cap. I, § 23 und 2i). 7 ) Ebenda Cap. 1, § 33. 8 ) Ebenda Cap. I,

§ 25. 9 ) Ebenda Cap. I, § 28. 10 ) Ebenda Cap. I, § 34. “) Ebenda

Cap. I, § 3G. **) Ebenda Cap. I, § 37.