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117. Kapitel.

früher 1 ) die Bemerkung gemacht, eine einmalige Integration der Diffe-rentialgleichung der gesuchten Curve vollziehe sich leicht, wenn

(wie hier) 31=0 sei. Die Curvengleichung war N — ~ ( jx = 0,

oder nach Multiplication mit dy und Ersetzung von durch p auch

Xdy — pdP = 0, oder Xdy -(- Pdp — Pdp — pdP = 0, oderXdy -f- Pdp = Pdp -f- pdP, d. h. dZ = d(Pp), -woraus Z -(- « = Pp

folgt. In unserem Beispiele heisst diese Gleichung a -)- a

P V ( 3 p s + P*) j “(i+P *) 2 vi du ,

— - - s oder y = 0 3 — • iS un kann man aus p = / den

(l-fp*) 5 u 2p 3 ““ “““ L ' dx

Schluss ziehen dx = x = / -P ' , / p

= (ul i D«(i -fp*)

•2p* “v 2p 6 2 L4p’ ■ p

die Curve ermittelt oder wenigstens construirt werden kann. Derweitere allgemein gehaltene Fortschritt lässt ausser x, y, p auch q inZ Vorkommen, so dass dZ = 3Idx -f- Xdy -f- Pdp -(- Qdq ist. Dann

‘dy y . /‘ydp . .

‘ — + / - - „ - und m unserem I alle

p 1 ,/ p-

d)> = f [Ai + + 1 + logi>], so dass

/? t ^wird j Zdx ein Maximum oder Minimum für die Curve 2 ) N —-

dP

dx

-f- ^ . —- U. Kommen aber in Z ausser x und y beliebig hohe Ab-leitungen von y nach x vor, so dass dZ = 3Idx Xdy Pdp+ Qdq + Pdr -\ -wird, dann ist 0 = N— ~ -f • • •

die Gleichung der Curve, welche dem Integrale jZdx einen Maximal-

•n

oder Minimalwerth verleiht 3 ). Wir gehen au den Beispielen für diebeiden letzterwähnten Fälle, an den Bemerkungen über die vollstän-dige oder mindestens tlieilweise Integrirbarkeit der Gleichung für denbisher allgemeinsten Fall vorüber.

Kapitel 3. Ueber die Auffindung von mit Maximal oderMinimaleigenschaften versehenen Curven, wenn in derFormel des Maximum oder Minimum unbestimmte GrössenVorkommen. Euler versteht unter unbestimmten Grössen, welchein Z Vorkommen sollen, ein unbestimmbares Integral TT == J\Z\dx,wo \Z] eine Function von x, y, p, q, r bezeichnet und d\Z] = [3I\dx+ | A T ](7»/ + \P\dp + \ Q\dq -f- (7?](G - ist. Euler zeigt nun 4 ),

dass, wenn [Z] etwa u aufeinanderfolgende Ableitungen von y nach xenthält (er wählt « = 5, d. h. er lässt p, q, r, s, t Vorkommen), man

') Euler, Methodus inveniendi Cap. II, § 30.

3 ) Ebenda Cap. II, § 56. 4 ) Ebenda Cap. III, § 1.

’) Ebenda Cap. II, § 40.