Maximal- und Minimalaufgaben. Euler’s Methodus inveniendi.

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TT für zwei Curvenpunkte mehr mit um gleiche Stückchen dx zu-nehmenden Abscissen, also TT, TT', TT", • • • TT (<r +') beachten müsse,deren Veränderung in Folge der Zunahme einer Ordinate um dasElement nv zu suchen ist. Für noch spätere Punkte sind die Aen-derungen des entsprechenden TT dieselben, wie die zuletzt gefundene,d. h. </TT(“+ 1 > = = tfTT<“+ 3 > = • • Dieser Satz dient als

Grundlage zur Auflösung von Aufgaben, bei welchen fZdx einMaximum oder Minimum werden soll, während in Z ausser TT mehrund mehr andere veränderliche Grössen Vorkommen. Zuletzt ist vor-ausgesetzt 1 ), es sei dZ = Ld ]T -(- Mdx -f- Ndy -|- Pdp -f- Qdq,neben TT =J\Z\dx. Die Allgemeinheit erstreckt sich bezüglich des TTso weit, dass dasselbe sogar nur durch eine Differentialgleichungr/TT = | Z\dx gegeben zu sein braucht, während TT selbst innerhalb| Z | vorkommt 2 ).

Kapitel 4, Von der Anwendung der bisher gelehrten Me-thode auf die Auflösung verschiedener Aufgaben, fügt denschon unmittelbar an die gegebenen Vorschriften sich anschliessendenBeispielen noch weitere hinzu. Da begegnen wir, um nur wenigeEinzelheiten zu erwähnen, der Aufgabe, die ebene Curve von gelängster Bogenlänge zu finden, welche über einer gegebenen Streckemit Hilfe zweier der Lage nach gegebenen Endordinaten einen ge-gebenen Flächenraum bilde, nebst ihrer Auflösung den Kreis 3 ). Dafinden wir die Aufgabe, auf irgend einer nach aussen oder nach innengewölbten Oberfläche die kürzeste Linie zwischen zwei gegebenenPunkten zu ermitteln 1 ), welche zu einer Differentialgleichung zweiterOrdnung führt. Ein andermal soll das Product zweier Integrale

X X

I Zdx -Jl’dx hei x = u ein Maximum oder Minimum werden undu o

die Curve gesucht sein, bei welcher dieses stattfindet 5 ). Euler nimmtdie Curvengleichung zwischen x und ;/ als bereits gefunden an, wo-

a a

durch jZdx — A, f Ydx = 1) sich ergiebt und A und 11 (konstanteo o

sind. Nimmt y um nv zu, so wird A in A -f- dA, B in BdB,A B in AB -f- Ad 11 -f- BdA -(- dA ■ dB übergehen. Die Veränderungvon AB ist also, da dA ■ dB gegen die anderen Glieder verschwindet,AdB -J- BdA, welches = 0 gesetzt werden muss. Allerdings dürfeman, fährt Euler fort, von dieser Gleichung aus nicht weiter schliessen0 = AdB -f- BdA = d(AB), also AB = Const., denn dA und d 11

■) Euler, Methodus inveniendi Cap. UI, § 31. s ) Ebenda Cap. III, § 38.

s ) Ebenda Cap. IV, § 8. 4 ) Ebenda Cap. IV, § 11. 6 ) Ebenda Cap. IV, § 14.