Bestimmte Integrale. Differentialgleichungen.
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bogens s, wie oben schon angedeutet ist, im Scheitel A angenommen,
in
woselbst auch m = a= 1 wird, so ist s = / dm . Dieses
J 2]/ m 1 — 1
l
Integral für den Hyperbelbogen ist mit Hilfe der vorher geometrischgewonnenen Beziehungen in andere Formen zu bringen. Es waru =Y»r — a- = Y»i* — 1. Mithin ist m = ]/l + g 2 , ^ m =
fl
11 du und s = / ■—-Andererseits war — = —, und bei
V 1 + .«■* J 2VTirp a m
0 n
a - 1 ist m = —, dm = — —”, s = /- f” — • Die Gleichung
1
v = ]/«- — n 2 = yi — n 2 liefert n — y 1 — v 2 , fZ« —- —<Zv,
>■ y l —
s = / , u. s. w. Der wesentliche Grundzug aller dieser Um-
21/(1 — v*) 6u '
formungen ist ein geometrischer. Maclaurin vertauscht nicht eineVeränderliche mit einer anderen Veränderlichen, zwischen welcherund der ersten eine algebraische Gleichung stattfindet, er bringt viel-mehr den Zuwachs des Hyperbelbogens in Verhältniss zu dem Zu-wachse einer bestimmten Strecke, welche in der Figur hervortrittund in Folge geometrischer Sätze von einer anderen Strecke abhängt.Neben dem Hyperbelbogen ist auch der Ellipsenbogen und derLemniscatenbogen durch mehrfach umgewandelte Integrale dargestelltund nicht minder der Unterschied zwischen Curvenbögen und derLänge von Berührenden 1 ).
Genau den entgegengesetzten Gedanken hat D’Alembert ver-folgt. Ihm sind die Umformungen, welchen er bestimmte Integraleunterwirft, durchaus analytische Verfahren. Geometrische Bedeutungals Maass eines Hyperbel- oder Ellipsenbogens hat für ihn nur daseinfachste zur Ausführung der Rectification jener Curven hergestellteIntegral und allenfalls die analytische Umwandlung anderer Integral-formen auf diese, in so weit als dieselbe eine Zurückführung auf dieRectification der Ellipse und Hyperbel genannt wird. D’Alembert’sfranzösisch geschriebene Abhandlung RcchereJics sur Ic calcid integral 2 )ist von ihm 174G der Berliner Academie zugeschickt worden. DieUntersuchungen zur Integralrechnung zerfallen in zwei Abtheilungen,deren erste den besonderen Titel Integration rationaler Brüche 3 ) führt.
‘) Maclaurin, Treatise of ßuxions pag. 052 — 060.de l’Academie de Berlin. Annee 1746. T. II, 182—224.
182—200.
*) Histoires ) Ebenda T. II,