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118. Kapitel.
Sie beginnt 1 ) mit dem (S. üb.")) von uns besprochenen Versuche einesBeweises des algebraischen Fundamentalsatzes von der Zerfallbarkeitjeder ganzen algebraischen Function einer Veränderlichen in reelleFactoren ersten oder zweiten Grades, und daran schliessen sich Bemerkungen über die Integration rationaler Brüche nach ihrer Zer-legung in Partialbrüche mit Nennern ersten oder zweiten Grades.Die zweite Abtheilung 2 ), von den Differentialen, welche sich auf dieRectification der Ellipse oder der Hyperbel beziehen, ist es eigentlich,um derenwillen die Abhandlung uns in diesem Kapitel beschäftigt.Nachdem D’Alembert ausdrücklich Maclauriu’s Treatise of fluxionsals das Werk genannt hat, in welchem zuerst Untersuchungen überauf die Rectification der Ellipse oder der Hyperbel zurückführbareDifferentiale Vorkommen, giebt er das Differential des Ellipsenbogens
als ds = - — “ „ dx, wo p den Parameter der Ellipse, d. li.
m / < « ) JL A /
j/rt" — X-
»2,2
die Doppelordinate im Brennpunkte bedeutet oder p — - ist, wenn
a
a die grosse, b die kleine Halbaxe bezeichnet, die Mittelpunkts-
gleichung der Ellipse also px- -(- 2ay 2 = a 2 p oder y 2 = f- (tr — x 2 )geschrieben werden kann. Eine Umwandlung erfolgt mittels = q
und ir -(- (q — 1) x 2 — az. Dadurch wird ds —
2 ]/((Z « + a)s — z 1 — qtr
Setzt man qa -(- a (= ” = / und qir(= Ir) = g 2 , so heisst die
(J z V (i z
Gleichung ds = — r — v - und das Differential rechts vom Gleich-
-O ' „ . > .............
2 yfz — z-—(j-
heitszeichen beruht auf der Rectification einer Ellipse von den Ilalb-
axen y und r, wo fr — r = y 2 , beziehungsweise r
Darnach darf, wenn die Ellipse nicht imaginär sein soll 3 ), /- < 4 ynicht stattfinden. Wäre dieses doch der Fall, so sähe man aus
(~ — zj , dass der Ausdruck ~/fz — z~ — y 2
imaginär würde und mit ihm zugleich ds, welches folglich kein
• • OC“ ’li“
reelles Integral besitzen könnte. In einer Hyperbel 4 ) s == 1,
in deren Gleichung man wieder/)
einführt, ist ds
>+2 a