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118 . Kapitel.
er führt so gestaltete Integrale auf elliptische Integrale zurück. Auchhei ihnen bleibt er nicht stehen. Seine neunte Aufgabe 1 ) verlangt
die Umformung des Integrals f<(x(ax -f- &)*’(/' + yx -f- hx 2 + af 1 )" 2
mit ganzzahlig positivem p und ganzzahlig ungradem n. Seine zwölfte
Aufgabe bezieht sich auf / dx _ .
J ya -f- bx cx 3 + ex8 + fx*
Der ersten Abhandlung von 174G liess D’Alembert am 13. April1747 eine zweite wieder aus zwei Abtheilungen bestehende folgen 3 ).Diese beginnt also unter fortgesetzter Zählung der Abschnitte mitder dritten Abtheilung von den Differentialen, welche sich auf dieQuadratur von Curven dritten Grades beziehen. Einfache Differen-tiation führt zu {l (yjj+ bx + cx '+?*') = _^__
V x' 1 / 2 y« + bx + cx* + fx*
■ [— 2aqxri- 1 — 2hqx~'i — 2cqx ~ , >+ 1 — 2fqx~'i+ 2 + bxr~i-{- 2cxri+ l-f- 3fx~? + ‘\. Ist nun q = 1, so erkennt mau leicht, dass
l r ya + bx-\-cx--\-f^= I —
X f x-v
k dx
i_ /' m dx _ r n
, / >'« + bx + ca; 3 + /'.e 3 J ]/« -f- bx
y a-ybx-^cx^-^fx
nx dx
1 + J
1 dx
xy<x -f- bx-^-cx 1 -^ fx 3
,, , , , . — ----- • Das erste der vier
V« + bx + ca ; 3 + /.c 3 J \a -f- bx + ca; 3 -f fx 3
rechts vom Gleichheitszeichen vorkommenden Integrale ist dadurchin Abhängigkeit von den drei anderen gebracht. Die beiden letzten(das dritte und das vierte Integral) sind in Folge der neunten Auf-gabe der zweiten Abtheilung von 174(5 auf Rectiffcationen von Kegel-schnitten zurückzuführen. Eine Zurückführun- 1 <lx
n /*—=
,/ xy>i-
i-t-bx+cx'-yfx 3
auf Kegelschnittbögen fehle, und doch führe auf dieses Integral inletzter Linie 4 ) nicht bloss /
/* dx '
dx
, . -,— - -, sondern iedes
x^ya-ybx-^cx^-yfx 3 J
. »,/— r ~,—i--—r—.. mit ganzzahlig positivem n. In besonderen
, J x n ya + bx -f c.r 3 + fx 3
hallen, welche mit ziemlichem Aufwande von Rechnung namhaft ge-macht werden, erfolgt das Zurückführen 1 (lx
von / —
J 1
1 yö”+ bx-\- cx 1 4- fx*auf Kegelschnittbögen, im Allgemeinen aber, gesteht D’Alembert ineiner Anmerkung 5 ) zu, sei ihm solches nicht gelungen. Alsdann hilft
er sich durch die Einsetzung von x = — welche / ■—
l ‘ y u -du U xya+bx + cx' + fx'
,) yk + lu -f- m m* + nu 3
hervorbringt. Das neue Integral hängt aber
*) Histuire de l’Academie de Berlin. Anntle 174G. T. II, 219. 3 ) Ebenda
T. II, 222. 3 ) Ebenda Annee 1748. T. IV, 249—291. 4 ) Ebenda T. IV, 250.
*) Ebenda T. IV, 257, ltemarque II.