Bestimmte Integrale. Differentialgleichungen.

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zusammen. Letzteres ist nämlich

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--— ^ — und das zweite der rechts vom Gleich-

y u ■ yk 4- Dt 4- m u 1 4" nu3

heitszeicheu befindlichen Integrale weiss D’Alembert durch Kegelschnitt-

du yk-\-l w4->« it s 4-na

bögen darzustellen 1 ), folglich gelangt man von

zu / —.— ■ — —^ u oder umgekehrt, welches von beiden man

f/ yic 4- lu 4- »i u- 4- nu 3

vorziehen möge. Das Integral / <lu ^ lu - stellt die

J y-u

Quadratur der Curve dritten Grades t~H = 1c lu mir 4- ft 3 dar,und somit ist erzielt, was die Ueberschrift der dritten Abtheilungerwarten liess, eine Zurückführung von mit Irrationalitäten behaftetenIntegralen auf durch Curven dritten Grades begrenzte Flächenriiume,insofern Kegelschnittbögen zur Auswerthung nicht ausreichen, währendallerdings das Hauptgewicht auf die Ermittelung solcher Beziehungenzwischen den innerhalb der Irrationalgrösse vorkommenden Coeffi-cienten gelegt ist, welche von jenen Quadraturen abzusehen gestattenund ausschliesslich von Kegelschnittbögen Gebrauch machen. D’Alem-bert hat unter dem 21. Juni 1752 noch eine dritte Abhandlung überIntegralrechnung veröffentlicht 2 ), welche bezüglich der Auswerthungmit Irrationalitäten behafteter Integrale mittels Kegelschnittbögen nureinen Irrthum verbessert, der sich in den vorhergehenden Aufsatzeingeschlichen hatte. Auf die vierte Ahtheilung, beziehungsweise diezweite von 1748, kommen wir weiter unten «zurück.

Schon im vorigen Abschnitte erwies sich die Nothwendigkeit,das 100. Kapitel für die Differentialgleichungen in Anspruch zunehmen, d. h. die Mathematiker begnügten sich nicht mehr damitDifferentialgleichungen, zu welchen die Behandlung irgend einer Aufgäbe geführt hatte, um der betreffenden Aufgabe willen zu integriren,das Integriren der Differentialgleichungen wurde ihnen allmälig anund für sich erforschungswürdig, und die frühere Hauptaufgabe sankzum Bange eines Beispiels herab, bei welchem eine Differentialgleichungvon einer vorbestimmten Form auftrat. Diese Verschiebung wurdenachgerade zu einer bleibenden, und gleich im I. Bande der Ver-öffentlichungen der Petersburger Akademie für 1726 finden sich Ab-handlungen von Jacob Hermann, Johann Bernoulli , Christian

‘) Ilistoirc de VAcademie de Berlin. Armee 1748. T. IV, '151—'255.*) Ebenda Amiee 1750. T. VI, 301—378.