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118 . Kapitel.

Goldbach, Niclaus II Bernoulli in unmittelbarer Folge, welcheder Wahrheit unserer Behauptung als Stütze dienen.

Jacob Hermann reichte im Mai 1726 eine Abhandlung Detvlculo intcgralD) ein. Nicht jedes Differential, sagt er, besitze einalgebraisches Integral, weit häufiger trete ein transcendentes Integralauf, dessen Werth sich nur mittels der Quadratur einer Curve ergebe.Daher sei es die eigentliche Aufgabe der Integralrechnung, Mittel andie Hand zu geben, welche sicher entscheiden lassen, ob eine vor-gelegte Differentialgleichung integrirbar sei oder nicht, und wennintegrirbar ob algebraisch oder nur durch eine Quadratur, beziehungs-weise welche Curve alsdann die einfachste sei, deren Quadratur zurIntegration der Differentialgleichung hinreiche. Hermann schlägt vor,jede Differentialgleichung auf eine canonische Gleichung 2 ) zurück-zuführen, eine Benennung, welche er Harriot (Bd. II, S. 721) nach-gebildet haben dürfte. Ist z. B. du = RJdK, wo R, K, aber auchin anderen Aufgaben etwa erscheinende Ausdrücke S, T u. s. w. Func-tionen beliebig vieler Veränderlichen darstellen, so möge u = 31R'd- 1das gesuchte Integral sein. Dessen Differentiation führt zu du =i A -f- 1) 31II'- dll -f- R l +'d31 und die Vergleichung mit du = Ii ; d Kzu dK — (A -f- 1 j 31 dll -)-- Rd31, welches die canonische Gleichungist. Ganz entsprechend wird als Integral von du = Il x S“dK dieu = J/J<!'-+ 1 iS" + 1 , als Integral von du = R > S u T'dK die u =J/77 ; + 1 N“ + 1 T‘+ 1 angenommen, und die entsprechenden canonischen. Gleichungen sind dK = (V + 1 i MMR + (u + 1) 3IRdS + RSd31und dK = (';. + 1) MSTdR + (u + 1) 3IRTdS + (v + 1 j MRSdT-}- RSTd3L Alsdann wird folgende allgemeine Vorschrift 3 ) gegeben:Man solle in dem Elemente dll irgend ein Glied auslesen, welchesbezüglich der Veränderlichen von höherer Dimension als die übrigenGlieder sei, und mit diesem Gliede in alle Glieder des Elementes dKdividiren, bei welchen die Division möglich sei; Vorzeichen undZahlencoefficienteu der Quotientenglieder solle man durch unbestimmteCoefficienten A, li , C, 1) ■ ■ ■ ersetzen und für die Summe der soveränderten Quotientenglieder Z, ferner 31 — Z -f- N schreiben; dieSubstitution dieses Werthes von 31 in die canonische Gleichung unddie Vergleichung der so entstehenden Glieder mit den homologenBestandtheilen des Elementes dK gestatte die Bestimmung von A,J>, C, D • • •; was aber von dll gesagt sei, gelte ähnlich für SdR,für STdR u. s. w. Nach mehreren Beispielen, in welchen nur eineVeränderliche vorkommt, so dass die Frage ausschliesslich auf die

') Commcntarii Academiae Petropulitcmac ad annum 1720. T. I, 119—107.2 ) Ebenda I, 151. *) Ebenda I, 152.