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Abschnitt XX.

größer ist als die darüber stehende, so wird in ungefähr dreiviertelder Rechenbücher eine Einheit von der nächst höheren Ziffer iinMinuend geborgt und wird dann vielleicht mit einem Punkte be-zeichnet, daß letztere sodann um eins weniger gelte. Statt diefolgende Ziffer des Minuenden um eine Einheit zu verkleinern, wirdin der zweiten Methode die folgende Stelle im Subtrahenden um einsvermehrt. Diese Erklärung findet man öfter in französischen unditalienischen als in deutschen Werken. Manche Schulbücher enthaltenbeide Methoden. In den Vorlesungen von Laplace, 1795 auf derNormalschule in Paris gehalten, werden beide Arten erklärt 1 ). Ineinem dritten Verfahren, welches selten erscheint, wird, wie früherbei Riese und Rudolff, die untere Ziffer erst von der geborgten10 abgezogen und die obere Ziffer hernach dazu addiert. Michelsengibt noch einen anderen Weg. Man ziehe die Ziffer des Minuendenvon der Ziffer des Subtrahenden ab, und subtrahiere den Rest vonneuem von 10, und lasse dann die folgende Ziffer des Minuendeneins weniger gelten 2 ). In allen von uns gelesenen Werken sagt man:2 von 5 bleibt 3; niemals wird 2 und 3 macht 5 angegeben. DieOperation geht beinahe immer von rechts nach links.

Division ist eine bedeutend schwierigere Operation, wofür zurZeit der Renaissance viele Methoden vorgeschlagen wurden. GegenEnde des 18. Jahrhunderts findet der Sturz der während zweier Jahr-hunderte gemeinen Divisionsformen statt und größere Uniformität inden Operationen tritt ein. Die Rechenmeister der Zeitperiode 1759bis 1799 reden von zwei Hauptniethoden, die um die Herrschaftkämpften, 1. das Übersieh- oder Oberwärtsdividieren, oder dieTurmmethode, 2. das Untersich- oder Unterwärtsdividieren.Diese Einteilung der damals bekannten Divisionsformen ist nichtfundamental. Die Hauptfrage ist nicht, ob man oberwärts oder unter-wärts fortschreiten solle; wohl aber, ob man die Teilprodukte sofortabziehen solle oder nicht, ob im Bilden der Produkte man mit derhöchsten oder mit der niedrigsten Ziffer des Divisors anfangen solle,und was überhaupt die anschaulichste Anordnung der Ziffern sei. Dieverschiedenen Divisionsarten, welche in dieser Zeitperiode gebrauchtwurden, lassen sich so anordnen, daß man stufenweise von einer ex-tremen Form zur anderen fortschreiten kann. Unten machenwir dies an folgenden Beispielen klar:

‘) Journal de l'ecole Polytechnique ou Bulletin du Travail fait ä cetteecole, 7. et 8. cahiers, Tome II, A Paris 1812. Le^ns de Mathematiques,donneeB ä l’ecole normale, en 1795 par M. Laplace, p. 8. *) Versuch in

Socratischen Gesprächen usw. von J. A. C. Michelsen, I. Bd., 1784, S. 133.