Arithmetik.
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Um genauere Angaben über den Gebrauch der verschiedenenDivisionsarten zu machen, bemerken wir, daß von den Werken, diewährend der Jahre 1759—1799 gedruckt wurden und dem Ubersieh-dividieren Aufmerksamkeit schenken, die meisten Ausgaben frühererschienener Werke sind. Von 103 mathematischen Büchern, dieuns zur Einsicht Vorlagen, sind Bartjens und Pescheck die einzigen,die das Übersichdividieren ausschließlich benutzen. Die ersten Auf-lagen beider Werke erschienen lange vor der Zeit, die wir jetzt be-trachten. Nur 16 Bücher erklären das Oberwärts- sowohl als dasUnterwärtsdividieren. Die übrigen — ungefähr fünfsechstel derganzen Anzahl — erklären das Unterwärtsdividieren, nämlich eineoder mehrere der Formen C, F, G, H; gewöhnlich ziehen sie eine derArten F, G, H der Form C vor.
Bei Dezimalbrücben werden von etwa einviertel der Schriftstellerdieser Zeit die abgekürzten Multiplikations- und Divisionsmethodenerklärt. Die abgekürzte Multiplikation wird theoretischer- und prak-tischerseits in einer Abhandlung von Isidoro Bernareggi 1 1735bis 1808), Priester und Professor der Mathematik an der königlichenSchule zu Lodi, behandelt 1 !. Bernareggi untersucht die Anzahl derDezimalstellen in den Faktoren, welche notwendig sind, damit derFehler im Produkte eine vorgelegte Grenze nicht übersteige. Inder Ausführung der Multiplikation schreibt er die Ziffern des Multi-plikators in entgegengesetzter Reihenfolge. In seiner Aritmeticariformata, Milano 1797, werden diese Ideen für Schulzwecke dar-gestellt.
Ein anonymes Werkchen über den gleichen Gegenstand, Essaisur les nombres approximatifs, Paris , an VII— 1799, wirdJean Antoine Francis Massabiau (1765—1837) zugeschrieben 2 )welcher ein eifriger Anhänger der Prinzipien von 1789 war und 1795die Normalschule in Paris besuchte. In diesem Aufsatze stellt ersich die Aufgabe, allgemeine Formeln für die durch Kombination an-nähernder Zahlen entspringenden^ Fehler herzuleiten. Soll z. B. einesolche Zahl JV durch eine andere X' dividiert werden, wo Q und (/beziehungsweise die genauen Werte darstellen, so daß Q = X + e undQ' = X' + e, dann wird der Fehler (+ X'e -f- Xe) : X'(X' + e).Von den vier Werten, welche dieser Ausdruck annehmeu kann, ist
(M'e + Xe) : X' (X' — e) der größte. Wenn c = e = * (10 _ ”), und+ x die Entfernung vom Dezimalpunkte der höchsten Ziffer im Quotienten