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Abschnitt XX
Lagrauges sind mehr abstrakt, dringen tiefer und zeigen größerePräzision der Darstellung.
Lagrange machte einen neuen Angriff auf das Eliminations-problem in einer Schrift, Sur l’elimination des inconnues dansles equations 1 ). Wenn zwischen zwei simultanen Gleichungen 0=1 +
^ J. + • ■ • und 0=1 + Ax + Bx s + • • • = (1 — ax) (1 — ßx) ■ ■ •,
bezüglich w teD und » ,cn Grades, x eliminiert werden soll, ist es klar,daß das Produkt II = (1 + aa + ba 2 + • • •) (1 + aß + bß 2 + ■••)•••= 0 seiu muß. Der Logarithmus dieses Produktes II liefert nGlieder, log(l + aa + aa 2 + ■ • •) + etc., wovon jedes in eine Reiheentwickelt wird. Dann zieht er die Theorie der symmetrischen
Funktionen zu Hilfe und erhält eine Reihe II = 1 — <p + ^ — • • ■,
welche II als eine Funktion von a, b, c, . . . und A, B, C, . . . aus-drückt. Die Gleichung 11= 0 hat kein Glied, worin die a, b, c . . .zusammen die Dimension m, und die A, B, C, . . . zusammen dieDimension n übersteigen. Das Verfahren ist schwerfällig und hatkeine weite Annahme gefunden.
Die bedeutendste Abhandlung Uber Gleichungstheorie des 18. Jahr-hunderts ist wohl die Arbeit von Lagrange, Reflexions sur laresolution algebrique des equations'-'), denn darin, wie in keineranderen, werden allgemeine Gesichtspunkte erreicht und die Grund-lagen der Methoden gelegt, auf welche später Ruffini, Abel undGalois weiter bauten. Er fängt mit der kubischen Gleichung anund zeigt, daß ihre Lösung von einer Resolventen-Gleichung sechstenGrades abhängt, die er reduite derjenigen dritten Grades nennt.Sind a, />, c die Wurzeln der kubischen Gleichung, y eine Wurzelder reduite und «, ß die imaginären Werte von f' / — 1, so hat manSy = a + ab + ßc. Da der Wert des y nicht direkt von n, b, r.sondern von den Koeffizienten der kubischen Gleichung abhängt, indenen die drei Wurzeln gleichförmig eintreten, so ist klar, daß manin dem Ausdruck für 3 y die drei Größeu n, b, c willkürlich ver-tauschen kann, wodurch man sechs verschiedene Werte für 3 y erhält.Wenn nun Aa + Bb + Cc einen Wert von y darstellt, worin A. B,0 von a, b, c unabhängig sind, so kann man a, b, c auf alle möglicheWeisen vertauschen und so die sechs Wurzeln und endlich die Re-solvente selbst herleiten. Er erklärt die Tschirnhausensche Auf-