Algebra.

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lösungsmethode und zeigt, daß diese, sowie alle anderen, die Auf-findung von Insolventen , deren Wurzeln entweder x + x" a -f x" « 2oder (x + x" a + x'"u 2 ) s sind und deren Grad entweder der sechsteoder der zweite ist, erfordern.

In diesen Untersuchungen hatte Lagrange Gelegenheit, die Kri-terien abzuleiten, damit zwei Gleichungen mehr als eine Wurzel mit-einander gemein haben. Sind P = 0, Q = 0 die zwei Gleichungen,nehme man P — u und schaffe x aus beiden Gleichungen weg. Manbekommt !/”* -f- ny m ~ 1 + • • • + py* -f- qy + r = 0. Da nun r = 0 seinmuß, damit P = 0 und Q — 0 eine gemeinschaftliche Wurzel haben,

so wird zu zwei gemeinschaftlichen Wurzeln r = 0, ^ = 0, und zudv T

dreien r — 0, ^ — 0 und ^ , = 0, etc. erfordert, wo £ das letzte

Glied der einen von den gegebenen Gleichungen ist.

Zur Gleichung vierten Grades schreitend, bespricht Lagrangedie Methoden von Ferrari, Descartes, Tschirnhausen, Euler ,Bezout und zeigt den Zusammenhang und die gegenseitige Abhängig-keit derselben. Er gibt die a priori Gründe an, warum einige da-von auf Kesolventeu dritten, andere auf solche sechsten Grades führen,die aber zum dritten erniedrigt werden können. Die Wurzeln dieserResolventen sind Funktionen der Größen x, x", x", £ IV , solcher Art,daß, wenn alle möglichen Permutationen der vier Größen stattfinden,nur drei verschiedene Werte entspringen, wie bei x'x" + x"’xP, odersechs Werte, von denen je zwei entgegengesetzte Zeichen abergleichen absoluten Wert haben, wie bei x -f- x" — x" —a, -lv , oderauch sechs Werte, die in drei solche Paare verteilt werden können,daß, wenn man die Summe oder das Produkt der Werte jedes Paaresbildet, diese drei Summen oder drei Produkte, bei irgend einer Per-mutation der x’, x", x'", x lv immer unverändert bleiben. Auf derExistenz solcher Funktionen ruht die allgemeine Auflösung biquadra-tischer Gleichungen.

Lagrange kennt zwei Methoden, durch deren Hilfe man v iel-leicht die allgemeine Auflösung der quintischen Gleichung erwartendürfe: die Tschirnliausensche Methode und diejenige von Euler und Bezout. Diese ergeben eine allgemeine und einheitliche Lösungder kubischen und biquadratischen Gleichungen, erfordern aber bei derQuintik die Lösung einer Gleichung des 24 ten Grades, die gewiß nichtauf einen niedrigeren als den 5 ton Grad reduziert werden kann.Lagrange sucht a priori die Tragweite dieser Methoden zu er-mitteln. Um die Gleichung

x“ + mx" ~ 1 + nx f ‘~ 2 -f- px “ _3 -(-••• = 0