Kombinatorik.

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wo er 1802 starb, beweist den binomischen Satz auf Grund folgenderBeziehungen 1 ): Ist

(1 -f x) n = a n + b n x + c n x* + d n x* + + • • -,

so hat man, wie gezeigt wird, für die Koeffizienten die Relationen

1-2-3

H — 3

C.

e.

n

'n

1-23-4

und daraus folgen die Werte der Binomialkoeffizienten nach Bestim-mung von b n , wo für b r+s = b r + b s = (r + s) \ = (r + s) gilt.

Jan Hendrik van Swinden , 174G im Haag geboren, zuerst Pro-fessor der Physik, dann zu Amsterdam auch Professor der Mathe-matik, nahm 1798 an der Beratung über die Einführung des metrischenMaß- und Gewichtssystems teil; starb 1823 zu Amsterdam . Er benutztzum Beweise der binomischen Formel die Relationen 2 )

d „-l = d n~ C n + K —

Auch Euler beschäftigte sich mehrfach mit der Frage nach dem

Gültigkeitsbereiche der Newtonschen Binomialformel. Zunächst imJahre 1774 3 ).

Hier geht er von der interessanten Bemerkung aus, daß eineGleichung, in der ein Parameter n vorkommt, wohl für alle positivenWerte von n richtig, für die übrigen aber falsch sein könne, so daßalso die Richtigkeit der binomischen Formel für ganzzahlige positiveExponenten noch keine weiteren Schlüsse auf ausgedehntere Gültigkeiterlaubt. Als Beispiel gibt er die Gleichung

1, (l — a”) (l — a"- 1 ) , (l — a’ 1 ) (l — a”~ 1 ) (l — a n ~ 2 )

1 — a 1 — a* ‘ 1 — a s

die er für ganzzahlige positive n beweist, aber für andere Werte vonn als unrichtig erkennt 4 ). Aus diesem Beispiele erhellt, daß die für

*) Nov. Comment. Petrop. 1760,1761, VIII, p. 169—180. *) Verhandl. Maatsch.

Haarlem 1770, 211, p. 334—358. *) Nov. Comment. Petrop. 1774, XIX, p. 103—111.

4 ) Hiermit im Zusammenhänge steht folgende Stelle eines Briefes von Euler anDaniel Bernoulli vom 16. Februar 1734 aus Petersburg datiert (Bibliothecamathem&tica, dritte Folge, VH, p. 136; 1906): „Ich vermeinte neulich, daß nach-folgende Series

m — 1 (?n — l)(m— 10) ( m — l)(m — 10)(m — 100)

Q QQO oqo nnn

999000

(m — 1)(»» — 10) (m — 100) (m — 1000)9 99900o000

etc.

(alwo (!) die Anzahl der Nullen im Numeratore und Denominatore einander

14 *