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Abschnitt XXI.
ganze positive Exponenten » kombinatorisch sofort beweisbare Glei-chung
« (« — U r s , ” (»' ~ 0 0» — 2 )
1 '2 1-2-3
1 + " x +
x* * H— = [»];
dann gilt also für positive ganze n die Gleichung [n] = (1 + x) n .Kombinatorisch wird nun gezeigt, daß [w] • [>«] = [w »»] sei, unddaraus ergibt sich [aw] = [n]“ für alle beliebigen Werte von n und
alle ganzen positiven Werte a. Ist nun vorgelegt, wo p und q ganzund positiv sind, so findet man ^q ■ = l-Pl = (1 + x) p und also
P_
= (1 + x) q ■ Ähnlich wird der Beweis für negative Exponenten
= (1 + x) q ■ Ähnlich wird der Beweis für negative Exponentengeliefert.
In der zweiten, auf den binomischen Satz bezüglichen Arbeit, diedreizehn Jahre später erschienen ist 1 ), setzt Euler voraus, daß beibeliebigem Exponenten n Entwicklungen der Form
(1 -(- x)” = 1 + Ax + Bx 2 -f- Cx 3 + • • -,(1 + x) n+i = 1 + A'x -f- Bl x 3 + C x 3 -f- ■ • •
möglich seien, und daß für n = 0 alle Koeffizienten A, B, C ,... ver-schwinden. Dann leitet er die Rekursionsformeln
A'-A-l, ir-B = A, C-C=B,..., N'-N= M, . . .
ab. Setzt man N = an, also X' = a(pi + 1), so wird 31 = a. Um-gekehrt folgt aus 31 = a durch Integration der FunktionalgleichungJV = an -+- c, wo c eine Konstante ist; da für n = 0, N = 0 sein muß,so ist N = an die für diesen Fall allgemeine Lösuug. Ebenso: istN = an(n — 1), also N' — an(n + l)n, so ist 31 = 2an, und um-gekehrt folgt aus 31 = an allgemein N = — an (n —1) usf. Auf
diese Weise wird das Gesetz der Koeffizienten festgelegt; da der An-fangskoeffizient = 1 ist, so folgt die Newtqnsche Form.
Auch einer hierher gehörigen Arbeit von Joh. Andr. v. Segner
gleich sind, im Übrigen ist die Lex klar) den Logarithmum communem ipsius mexprimere, dann ist m = 1 , so ist die gantze Series = 0, ist m = 10, so kommt 1 ,ist m — 100, kommt 2, und so fortan. Als ich nun daraus den Log. 9 findenwollte, bekam ich eine Zahl, welche weit zu klein war, ohngeacht diese Seriessehr stark convergirte.“
*) Nor. Act. Petrop. V, 1887, p. 52.