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Abschnitt XXI.
kombinatorischem Wege durch den Schluß von n auf (n -f 1) undeinmal mit Hilfe der Differentialrechnung * 1 ). Rothe gibt derEschenbachschen Formel den Ausdruck in Lokalzeichen
_Z+»tf (i(Y+nd)
q'Mn + 1) = ~j^_ nS P ° x(m+1)?/ « ,
wobei
p = y^ = ax a + bx a + 6 + cx a+2ä + • • •,fiy (Hr + t) /*(r + 2 4)
q ~ X'/ = AIJ “ 4- By “ + c !/“+•• •
zu setzen ist 8 ). In Worten heißt dies: „das (n + l) te Glied der Reihefür aff ist gleich dem Produkte des (n + 1 > len Koeffizienten der Potenz
_Y + nd _ ,*(r + »J)
p “ der Reihe für y? in die Größe “ .“
J Y-\-nö J
Dieses elegante Resultat verknüpft die Umkehrung der Reihenmit dem Polynomialtheorem. Das mag wohl den mit keinem allzuweiten Blick begabten Hindenburg zu der Meinung geführt haben,es sei „der polynomische Lehrsatz das wichtigste Theorem der ganzenAnalysis“.
Durch die Eschenbach-Rothesche Formel wurde für die Kombi-natoriker die Untersuchung und die Benutzung der Lokalzeichen inden Mittelpunkt des Interesses gerückt. Ihnen wurde nun eine ganzeReihe von Arbeiten gewidmet. Rothe selbst versucht durch Auf-stellung von Lokalformeln für Produkte aus Potenzen von Reihendiese Lokalzeichen von den kombinatorischen Zeichen unabhängig zumachen 8 ). Es gelang ihm, aus seiner Formel die bekannte, von La-grange 1768 ohne Beweis gegebene für die Umkehrung von Funk-tionen herzuleiten, d. h. die, durch die eine willkürliche Funktion(f (x) der durch x = y + zf(y) bestimmten Variablen x in eine nachPotenzen von z foi'tschreitende Reihe entwickelt wird 1 ). Hier setzteine Arbeit Pfaffs ein. Johann Friedrich Pfaff wurde 1765 zuStuttgart geboren; er zeigte schon als Zögling der Karlsschule seinehervorragende Begabung für Mathematik; auf Veranlassung des Her-zogs Karl studierte er in Göttingen , ging 1787 als Astronom zuBode nach Berlin, von da bald darauf nach Wien und ward 1788als Professor der Mathematik nach Helmstädt berufen. Von derwestfälischen Regierung wurde er 1800 als Professor nach Halle a. S.
') Formulae de serierum reversione, demonstratio etc., Lips. 1793.
*) Oder (nach Rothescher Bezeichnung), wobei die beiden Skalen geltenp (a, b, c, . . .) und q ( A , Ii, C, . ..).
*) Archiv f. reine u. angew. Mathem. I (1794), p. 220—223, 22s—232. 4 ) Ibid.
I (1794), p. 442.