Kombinatorik.

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gegeben und wird daraus die Entwicklung

fir /*(>• + <>) <*(r + ä<b

+ A'J “ + Al! ° +•••

gesucht (wobei die oben angegebene Schreibweise über den A 0 , A u ...als „angenommenen“ Koeffizienten eigentlich noch Punkte geforderthätte), so erhält man rekurrierende Formeln für die A 0 , A lt A 2 ,durch die Lokalformeln

A 0 px 1 = 1, A 0 px2 + A 1 p 2 xl = 0,

A 0 px 3 + A l p 2 x 2 + A^xl = 0, . . .

Eine independente Formel für die Lösung des Umkehrproblemsfand zuerst Eschenbach. — Hieron. Christoph Escheubachwar 1764 zu Leipzig geboren; er hatte dort unter dem Einflüsse derHindenburgschen Schule gestanden; seit 1790 als Ingenieur-Kapitänim Dienste der holländisch-ostindischen Kompagnie, wurde er weit inder Welt umhergeworfen; er starb 1797 zu Madras in Vorderindienals englischer Kriegsgefangener, ln seiner 1789 zu Leipzig erschienenen„Dissertatio de serierum reversione, formulis analytico-combinatoribusexhibita“ stellt er das allgemeine Glied der Entwicklung von xf nachPotenzen von y mit Hilfe kombinatorischer Operationen her. SeineErgebnisse waren aber insofern unbefriedigend, als diese Formel nurdurch unstrenge Induktion erlangt war und eines Beweises ermangelte;dann aber auch dadurch, „daß die Harmonie in den einzelnenGliedern der Formel vermißt wurde, wo ungleichnamige Buchstabenmit einander verbunden sind, 31 mit bB, und 33 mit C, u. s. w.“ 1 )Dem letzten Mangel half Hindenburg ab 2 ), der vollkommen sym-metrisch und in der geforderten harmonischen Darstellung die allge-meinere Aufgabe löst, aus der Relation

aa? + bxf + d + cx? +2d + • • • = ay '• + ßy' + ä + yy ) + 26 + • • •

die Darstellung einer beliebigen Potenz x a von x als Potenzreihe vony herzuleiten. Den ersten Mangel jedoch beseitigte erst 1793 einSchüler Hindenburgs, Heinr. August Rothe, der, 1773 zuDresden geboren, dort die Kreuzschule besuchte, in Leipzig Dozentund a. o. Professor war, darauf von 1800—1804 als Privatmann inFreiberg lebte, dann als o. Professor der Mathematik an der Univer-sität zu Erlangen wirkte, 1823 in den Ruhestand trat und 1842 starb.Er führt den Beweis der Formel auf doppelte Art; einmal auf rein

*) H. A. Töpfer, „Combinatorische Analysis und Theorie der Dimensions-zeichen in Parallele gestellt“. Leipzig 1793, S. 170. *) Problema solutum

maxima universale ad serierum recursionem formulis localibus et combinatorio-analyticis absolvendum paralipomenon. Lips. 1793.