Imaginäres.

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fort f ---- Y — 1- Es werden dann Strecken a -\- eb eingeführt undmit ihnen die Operationen der Addition, der Multiplikation, der Po-tenzierung und der Radizierung vorgenommen. Als Anwendungwird der Beweis des Satzes von Cotes gegeben (Bd. IIP, S. 410—411)und die Bestimmung aller Elemente eines Polygons geliefert, vondem die nötige Anzahl von Bestimmungsstücken bekannt ist.

Um zu einer analytischen Bestimmung der Lage von Punktenim dreidimensionalen Raume zu gelangen, nimmt Wessel zu denbeiden Einheitsstrecken -- 1 und + e eine dritte mit gleichem An-fangspunkte, auf 1 und e senkrecht stehende + »/ an, für die auchy 3 = — 1 ist, und gibt die Form x + yy ez als allgemeinen Aus-druck einer „Geraden“, d. h. eines Strahles vom Anfangspunkte biszum Punkte mit den Koordinaten x, y, z. Das Hauptproblem bestehtin der analytischen Bestimmung der Rotation. Wessel zerlegt einebeliebige Rotation in zwei, deren eine die ?/-Achse, die andere dies- Achse zur festen Drehungs-Achse hat. Soll sich (x + yy -f- ez) umdie ij-Achse durch einen Wiukel a drehen, so drückt er dies durchdie Bezeichnung

(x -r yy -r sz) ” (cos a -)- £ sin a)

aus, und ähnlich die Drehung um die «-Achse durch den Winkel bdurch die Bezeichnung (X + yy -f- sz) t> (cos b 4- sin b). Es ist, wieWessel zeigt,

(x + yy -f- e z) " (cos a + e sin d) = (x cos a — z sin d)

-p r,y + t (x sin a + z cos «);

( x + yy -f f z) " (cos b -f- y sin b) = (x cos b — y sin b I+ y(x sin b y cos b) -j- ez-(, x + yy + ez) •> (cos n + e sin a) » ( cos c -(- e sin CI

= (x 4- yy 4- » (cos [a -f cj 4- «sin [a -f c]).

Auf die kurz gefaßte Theorie der Drehungen um die Achsen dery und t folgt als Anwendung die Behandlung der sphärischen Polygone,die im wesentlichen auf eine sphärische Trigonometrie hinausläuft. T.-X.Thiele, einer der beiden Herausgeber der ins Französische übersetztenAbhandlung 1 ), macht auf den merkwürdigen Umstand aufmerksam,daß Wessel bei seinen Untersuchungen nicht auf die Gleichungenvon Gauß oder Delambre gestoßen sei, denen er doch so nahe war.Ebenso bedauert Thiele, daß der Verfasser die Behandlung derDrehung um die reelle Achse unterlassen hat; dieser eine Schritt hätteihn ohne Zweifel zur Entdeckung der Quaternionen geführt. Wenngleich

') Essai sur la representation analytique de la direction par C. Wesselavec preface de II. Val ent in er et T. X. Thiele. Copenhague 1897.