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Abschnitt XXIII.
liauptmaim Friedrich Wilhelm Oppel in Freiherr (1720—1769)gezeigt, daß sich aus der Kenntnis des Sinus- und Kosinussatzes diesämtlichen Formeln der sphärischen Trigonometrie gewinnen lassen.Damit nicht zufrieden suchte De Gua deMalves (III 2 , S. 576—577 izu zeigen 1 ), daß die Kosinusformel allein zu diesem Aufbau genüge.Diesen Gedanken, den übrigens, wie De Gua selbst bemerkt, schonder Petersburger Akademiker F. C. Maier (III 2 , S. 558—559) aus-gesprochen hatte, führte er iu der Abhandlung „Trigonometriespherique deduite tres brievement et completement de la seulesolution algebrique du plus simple des ses problemes generaux etc.“1783 aus. Dabei hatte er die unglückliche Idee für seine neu auf-gebaute Trigonometrie auch eine neue Funktionsbezeichnung einzu-fiihreu, die durch ihre Schwerfälligkeit die Lektüre seiner sonst ver-dienstlichen Abhandlung sehr unangenehm macht. Da sie jedochkeine Nachahmung fand, gehen wir auf dieselbe nicht weiter ein.De Gua leitet nun zunächst den Kosinussatz
cos a = cos b cos c -+- sin b sin c cos „4
geometrisch ab, indem er sich derselben Figur bedient, die wir beiF. Blake i S. 406) antrafen, und berechnet aus dieser Formel
sin A = Yl — cos a 2 — cos b 2 — cos c 2 + 2 cos a cos b cos c : (sin b sin c).
Da man aus der Symmetrie dieser Form erkennt, daß sin li und sin Cdenselben Zähler erhalten müssen, so folgt unmittelbar
• . ■ 7, • /. l 1 l • • , ■
sin A : sin B : sm C — . , , = sui a : sin b : sin c,
sin o.sine sine sinn si na sine
also der Sinussatz. Durch sehr umfangreiche Ilechnungen ergebensich daun der Kosinussatz für die Winkel, die Kotangentenformelund noch 10 andere recht komplizierte Gleichungen, welche zu prak-tischer Verwendung zum Teil sehr wenig brauchbar sind.
Die abschreckenden Rechnungen De Guas veranlaßten Lagrangein der schon erwähnten Abhandlung „De quelques Problemes relatifsaus triangles spheriques avec une Analyse complete de ces triangles“ 2 )eine einfachere Ableitung zu geben. Kosinus- und Sinussatz erhälter wie De Gua, indem er aber dann den ersteren für die Seiten a und cansetzt, mit Hilfe der zweiten dieser Formeln cos c aus der ersteneliminiert und sin c = sin a sin C : sin .4 einführt, ergibt sich ihm alsdritte Gleichung ctg a sin b = ctg A sin C + cos b cos C. Vor der