Das Lehrgebäude der Trigonometrie. Versuche einer Begründung dess. 429

eben erwähnten Einführung von sine hatte sich Eulers Formelcos a sin b = cos b sin a cos C + sin c cos „4 ergeben; indem er nun indieser a mit b und folglich auch A mit. li vertauschte und den hier-durch erhaltenen Ausdruck für cos b sinn in sie einführte, ergab sichmit Hilfe der Beziehung sin c = sin h sin C : sin 11 leicht der Kosinus-satz für die Winkel als vierte Hauptgleichung. Obwohl diese Fonneingenügen, wie Lagrange sagt, um alle auf sphärische Dreiecke be-züglichen Aufgaben zu lösen, so leitet er dennoch aus ihnen die be-kannten G Gleichungen für das rechtwinklige Dreieck sowie dieSätze zur Bestimmung der Seiten aus den Winkeln und der Winkel ausden Seiten ab und verschafft sich die Nepersehen Analogien, indemer in beiden Fällen auch das Supplementardreieck verwendet.

Da Lagranges Arbeit unmittelbar an De Guas Gedanken an-knüpfte, mußten wir ihre Besprechung gleich hier anfügen undkönnen erst nachträglich noch auf eine Abhandlung des uns schonbekannten Schubert hinweisen, die schon 179t! erschienen war 1 ) unddenselben Gegenstand behandelte, ohne jedoch jener Lagranges anÜbersichtlichkeit, Einfachheit und Eleganz gleichzukommen. Fried-rich Theodor Schubert (1758—1825), geboren zu Helmstädt, be-gann seine Tätigkeit als Hauslehrer, wurde dann Revisor des liapsal-sehen Kreises in Esthland, beschäftigte sich aber hauptsächlich mitgeographischen und astronomischen Studien, die ihm die Pforten derAkademie in Petersburg eröffneten, woselbst er Aufseher der Biblio-thek und des Münzkabinetts dieser Anstalt wurde, Stellungen, die erbis zu seinem Tode inne hatte. Mit den Schriften der Alten wohl-vertraut kam er auf den Gedanken, aus dem Satze des Menelaus 3 ),mit dem schon Ptolemäus die sphärische Trigonometrie behandelthatte, das ganze bekannte Formelsystem der Trigonometrie abzuleiten.Zunächst gewann er aus diesem Theorem die G Formeln für dierechtwinkligen sphärischen Dreiecke 3 ), dann den Sinussatz und durchbeständige Anwendung der gefundenen Formeln auf die Figur jenesTransversalensatzes von Menelaus die beiden Kosinusregeln, ausRenen sich dann als einzige noch notwendige Regeln die Formel

O o o

, ,, sin A sine

tg C = . . , . ,

n sine cos c — coso sine cos A

und ihre polare ergaben. Auch dieses schöne System gründet dieganze sphärische Trigonometrie auf einen einzigen Satz, die hierzunotwendigen Rechnungen stehen aber jenen Lagranges an Einfach-heit bedeutend nach. Beachtung hat dasselbe wenig gefunden.

’) Trigonometria sphaerica e Ptolemaeo. Vorgelegt am 22. Dezember 1796,publiziert 1801 in Nova Acta Acad. Petrop. XII, p. 165—175. *) Vgl. dieses

Werk I s , p. 386. s ) Vgl. P, p. 392—393.