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Abschnitt XXIII.

kalkiils in seinem großen Werke „Magnitudinum exponentialiumlogaritlimorum et trigonometriae sublimis theoria nova methodo per-tracta“. Florenz 1782, 4°,*) behandelt. Der Autor liat gehalten, waser im Titel seines Werkes versprochen, indem er eine vollständigeTheorie der Exponential - und trigonometrischen Grüßen entwickelte,wobei er die entsprechenden Formeln für Kreis- und Hyperbelfunk-tionen stets nebeneinander stellte.

Die Reihendarstellungen der ersteren erhielt er vou der Reihefür ausgehend, wo er zunächst dem z einen ganz beliebigen Werterteilte und dann z = e oder = C setzte, wie er die Basis des natür-lichen Logarithmensystems bezeichnete. Dadurch erhielt er die seitEuler bekannten Darstellungen des Sinus und Kosinus durch dieExponentialfunktion und die Fundamentalformel c*' = cos x + i sin x,die ihn für sin x — v, cos x = ]/i — v~ zur Gleichung

x i = log (i v + ]/l — v' J )

führte. Indem er dann für die Wurzel die binomische Reihe einführteund den Logarithmus durch die bekannte Reihenentwicklung ersetzte,gewann er auch die Reihe für arcsin v. Bei Ableitung dieser Reihe, derenKoeftizientengesetz übrigens nicht bewiesen wird, findet sich auchder Versuch, die Konvergenz mittels des Quotienten zweier aufein-ander folgender allgemeiner Glieder zu bestimmen, ein Beweis dafür,daß am Ende des 18. Jahrhunderts die Erkenntnis der Notwendigkeit,die Bahn rein formaler Entwicklungen zu verlassen, sich allmählicheinstellte.

’) Kap. 5—8.