Trigonometr. und andere Tafeln. Zyklometrie. Trigonometr. Reihen. 449
von denen die des Irländers John Brinkley (1797) 1 ) die vollständigsteist, da derselbe das Koeffizientengesetz mittels des Schlusses von nauf w + 1 bewies.
Für ein ganzzahliges gerades oder ungerades n liefern dieseEntwicklungen bekanntlich direkt die Teilungsgleichungen der tri-gonometrischen Funktionen. Xun wußte man schon seit Wallis , daßim ersteren Falle 2», im letzteren «Wurzeln vorhanden sind, auchhatten bereits Euler 1748 (vgl. III 2 , S. 716) und noch viel ein-gehender Kästn er 1756 2 j Untersuchungen über Zeichen und Gruppie-rung dieser Wurzeln angestellt, dennoch glaubte D’Alembert 1768noch einmal auf diese Fragen zurückkommen zu müssen 3 ) undKlügel, Karsten und andere folgten ihm nach. Der erstere derbeiden zuletztgenannten Männer schloß an seine Überlegungen auch
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die Produktdarstellung von sin«£ und cos nz für ein ganzzahliges nan und fügte 4 ) noch eine stichhaltige Ableitung des Satzes vonCotes hei, die als eine Erweiterung und Vereinfachung des schonvon Johann Bernoulli mitgeteilten Beweises 6 ) angesehen werden muß.
V as die Ableitung der Potenzreihen für sin£, cos£, tgz anlangt,so wurde gewöhnlich die uns schon aus III 2 , S. 708 bekannte MethodeEulers angewendet, oder man bestimmte in der mit unbestimmtenKoeffizienten angenommenen Reihenform die Koeffizienten mit Diffe-rentialrechnung; L’IIuilier 6 ), der so elementar als möglich verfahrenwollte, verwendet hierzu die Differenzenrechnung. Eine elementareAbleitung gab auch 1798 7 ) Jakob de Gelder (1765—1848), Pro-fessor in Leyden . In umfassendster Weise aber hat den analytischenTeil der Trigonometrie Pietro Ferroni mit Hilfe des Infinitesimal-
’) Transactions of the lt. Irish Academy VII, 1800, p. 27tf. Brinkley er-
wähnt hier, daß Waring in seinen Curvarum algehraicarum proprietates, 1772,Theor. 26 für ein ungerades w mit seinem Satze über die I’otenzsummen zuersteinen exakten Beweis gegeben habe, daß diese Methode aber für ein gerades nversage. *) Unde plures insint radices aequationibus seetiones angu-
lares definientibus, Dissertatio 1756, Altdorfii 1771. Über die algebraische Auf-lösbarkeit der einen speziellen Fall bildenden Kreisteilungsgleichungen sah mandamals noch sehr unklar; so sagt Mosdorff, Acta Erud. 1751, man werde wohlkaum jemals dazu kommen, zu untersuchen, wann sich diese Gleichungen alge-braisch lösen lassen, und Klügel betont ebenfalls a. a. 0., p. 66, daß die tri-gonometrischen Tafeln die Auflösung der Teilungsgleichungen geben, welchedie Algebra bis jetzt nicht allgemein geben kann. *) Opuscules V, p. 222—227.
4 ! Analytische Trigonometrie, Kap. 4, Xr. XXXI. 5 ) Opera IV, p. 67. 6 ) P. T.
1796, p. 142 und Principiorum calculi ditferentialis et integralis expositio ele-mentaris. Tubingae 1795, 4°, Kap. 3. *) Over de reeksen, dienende om de
rapporten van de cirkelbogen tot derzelver sinussen etc. zoonder behulp derditferentiaal- och integraal-rekening afteleiden. A'erhandelingen van het Genot-
schap te Rotterdam XII, 1798.