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Abschnitt XXIV.
Schließlich wird die Integration fiir Rotationsflächen durchgeführt,
i 4- i/ 5
deren Gleichung in der Form 0 ‘ + f(z ) = 0 angenommen wird,
so daß p = x, q = y wird, woraus durch eine erste Integration mitder Konstanten A folgt:
Ads = xdy — ydx.
Durch Einführung von Polarkoordinaten in der xy -Ebene(x = v ■ cos <p ; y = v sin <p)
folgt:
, dv t /r* 4- »*
^ = r» K A 2 + r s ’
wo r eine Funktion von v ist, die den Meridian der Rotationsflächebestimmt.
Es wird dem Ruhm und den Verdiensten von Gauß keinen Ein-trag tun, wemi wir hier darauf hin weisen, daß verschiedene derGedanken und Methoden, von denen er in den „Disquisitionesgenerales“ mit so glänzendem Erfolg Gebrauch macht, sich(allerdings zum Teil in spezieller Form, oder nicht ausdrücklich for-muliert) schon bei Euler finden, z. B. die sphärische Ab-bildung (S. 527), die Darstellung der Flächen in Parameter-form (S. 529), die Übereinstimmung des Linienelements alsBedingung für die "Ahwickelbarkeit (S. 530) und endlichdie Behandlung der Differentialgleichung der geodätischen Linienmit Hilfe des Winkels, den sie mit einer auf der Fläche be-findlichen Kurvenschar bilden (S. 539). x )
Die im vorigen Kapitel besprochenen Arbeiten Eulers über dieRektifikation von Kurven stehen in gewissem Zusammenhang mitUntersuchungen über rektifizierbare Kurven auf Flächen, soferner auch hier die S. 480 angegebene Methode anwendet. 2 ) Für dieerste der hierher gehörigen Abhandlungen trifft dies allerdings nichtzu, wohl aber für die übrigen. Jene handelt: „De curva rectificabiliin superficie sphaerica“ 3 ), bringt aber keine vollständige Lösung derAufgabe, sondern leitet nur für das Bogenelement den Ausdruck her:
d S ’ Sill s
tg r ’ wo r C ^ er sphärische Krümmungsradius, s der Bogen der Evo-lute ist. Die zweite Abhandlung heißt: „De lineis rectificabilibus insuperficie sphaero'idica quacunque geometrice ducendis“ 4 ) (4. Juli 1776).Es sollen also hier auf einem Rotationsellipsoid rektifizierbare Kurvengefunden werden. Der AVeg zur Lösung ist der, daß in der xy -Ebene
') Vgl. auch Euler , Opera posthuma I, p. 491—49(1, und Lagrange,Oeuvres XIV, p. 217, 221. S. Stäckel in Biblioth. Mathem. 1 3 1 II (1901), p. 123.
*) Stäckel, Leipziger Berichte 1902, p. 102. * *) N. C. P. XV (1770), p. 195
bis 216. 4 ) N. A. P. III, p. 57—68.