Raumkurven und Flächen.

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ds = dx V1 + p 2 + (f + gpf-Es soll nun das Integral

.•>• = j dx^l + ;> 2 + (/'+ ypY

zu einem .Minimum gemacht werden. Die Anwendung der von Euler inder Metliodus inveniendi aufgestellten Kegeln führt auf die Differential-gleichung dp (1 + f 3 + (f) + (g — fp ) (df + pd g) = 0. Dies ist eineDifferentialgleichung zweiter Ordnung. Eine erste Integration leistetEuler durch einige Substitutionen; er setzt nämlich

«-für-; + £* = **;

f + <jp ’

f ’

V

T+lp-

Es ergibt sich so

ds _ dk

' 1 + «’ _ .1 + &•) Vi +

so daß wenigstens die Variable s isoliert ist.

Es ist von Interesse, daß die hier eingeführte Größe .s eine einfachegeometrische Bedeutung hat; ist nämlich w der Winkel, den einegeodätische Linie mit den Kurven z = const. bildet, so ist s = tg«';dieser Hinweis fehlt allerdings bei Euler , aber immerhin ist es be-merkenswert, daß Gauß die Integration der geodätischen Linie aufähnliche Weise angegriffen hat 1 ), nämlich durch Einführung desWinkels, den sie mit den Paranieterkurven bilden. — Des weiterenist bemerkenswert, daß Euler hier, wohl zum erstenmal, eine sym-metrische Behandlung der drei Koordinaten eines Flächenpunktesund einer für sie abgeleiteten Differentialgleichung unternimmt, die ermit den Worten einleitet: „Universam hanc quaestionem ita tractaremihi est visum, ut omnes formulae pari ratione tres coordinatasx, y, z involvant, quo pacto speculationi potius consulatur quamusui; hancque ob rem investigationes sequentes subjungam“. Er nimmtnun die Differentialgleichung der Fläche in der Form an:

pdx + qdy + rdz = 0,

und erhält als Differentialgleichung der geodätischen Linien:

d 3 x(qdz — rdy) + d 3 y(rdx — pdy) + d~z (pdy — qdx) = 0,die er noch in die Form setzt:

d s s qd*z — rd i y rd i x — pd*y pd*y — qd“x

ds qdz—rdy rdx—pdz pdy—qdx

*) Disquisitiones generales circa superficies curvas, Art. 18 .